5–2 一阶微分方程.ppt

* 物理教研室 高等数学电子教案 § 5-2 一阶微分方程 First-Order Differential Equation 概述：一阶微分方程简介 一、可分离变量的微分方程(Separable Equation) 1.方程特点与通解形式 2.分离变量法（及例题） 二、一阶线性微分方程 (Linear First-Order Differential Equation 1.通解公式与解的结构 2.常数变易法 概述：一阶微分方程的一般形式 一、可分离变量的微分方程 一般表示 分离变量并积分 求解过程 通解形式 例1. 已知细菌生长过程的即时存在量 ，方程 为 ，求通解和满足 的特解。 [解] 例2 求微分方程 的通解 [解] 例3 如图5-2电路， 是开关， 如果和闸 时，电容器上 电压 ，求和闸后电压 的变化规律。 [解] 图5-2 RC电路 一阶可分离变量的微分方程——习题选讲 求下列微分方程的通解或特解 [解] [解] [解] [解] 习题五~4（2） 习题五~4（11） 课外题 二、一阶线性微分方程 1.什么是一阶线性微分方程？ （1）定义 含有 ，且 与 都是一次幂。通常 指 一阶微分方程中不能直接分离变量的类型 （2）一般形式 （3）齐次方程 （4）非齐次方程 [例] 为已知函数 *可分离变量 （5-11） 即原方程（5-11） 2.一阶线性微分方程的通解公式（推导） （1）解齐次方程（5 – 12），求出其通解 注：推导过程 *分离变量 *两边积分 *令 *称齐次通解 （2）再求原方程（1）的通解形式并作对照 *部分分离变量 * 为未知函数 *按常规两边积分 *不定积分性质2 *再令 *非齐次通解 设 并积分，则有 即 （5-14） （3）确定非齐次通解中的特定函数 对式（5-14）两边同时求导数，得 把上式与（5-14）式代入原方程，得 即 Ⅰ Ⅱ *Ⅱ、Ⅲ项抵消 对 两边积分，就有： 代入非齐次通解 得 即 称为一阶线性微分方程的通解公式 （5 - 15） 小结：一阶线性微分方程解的结构 ~齐次通解 ~非齐次特解 简写： 3.一阶线性微分方程的解法 （1）公式法——直接用通解公式（5 - 15） （2）常数变易法——A.求出齐次通解；B.将其中的任意 常数 改换成待定函数 ，并确定 ；C.构成非齐 次通解。 例1 求 的通解 例2 求 的通解 [解] [解] 第五章 作业（P124~P125） §5—2 一阶微分方程习题 4—（1），（4），（7） （9）， 可分离变量 一阶微分方程习题讲解（*选做） 1. *P125，4—（10） 2. *4—（12），作业题 3. *课外题 [解] [解] [解] 解：将方程 化为 *[解法说明] *分离变量 两边积分得 *只取一个积分常数 作对数—指数变换 ，*令 故有 （通解） 将初始条件 通解，就有： 即 所以特解为 即 *指数性质 当 时，可简化为： [返回] 解：对方程 分离变量得 两边积分 故方程通解为 继续化简 作指数变换 [返回] 解：本例描述RC电路充电过程，根据回路电压及有关 定律有 其中 *欧姆定律，电流瞬变 *电容器性质 故得微分方程 *一阶可分离变量型 分离变量得 两边积分得 移项并令 得 利用初始条件 ，代入通解可求得 所以特解为 [图5—3] RC的电压变化规律曲线