5–2矩阵的特征值.特征向量.ppt

* * * * 第一节 矩阵的特征值和特征向量 相似矩阵及二次型 一、特征值和特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质 三、小结 思考题 返回 上页 下页 一、特征值和特征向量的概念 则称： ? 是矩阵 A 的特征值； 定义 1 设 A 是 n 阶矩阵，如果存在数 ? 和非零向量 x,使得 x 是 A 的对应于(或属于)特征值 ? 的特征向量. 返回 上页 下页 (2) 由于 亦可写成齐次线性方程组 说明 (1) 特征向量 x ? O；特征值问题是对方阵而言的； 因此，使得 有非零解的 ? 值都是矩阵 A 的特征值. 即，使得 的 ? 值都是矩阵 A 的特征值. 返回 上页 下页 定义 2 设 n 阶矩阵 ，记 则， 称为 A 的特征多项式； 称为 A 的特征矩阵. 称为 A 的特征方程； 上页 下页 返回 说明 ( n 阶矩阵 A 的特征多项式) (1) 是 ? 的 n 次多项式，若设其一般形式为 则， 的系数 ； 的系数 ； 常数项 . 返回 上页 下页 (2) 求特征值 ?，就是求特征方程 的根； (3) 有 n 个根 (其中有些根可能相同)， 其中的 k 重根也称为 k 重特征值. (4) 需要注意，即使是 n 阶实矩阵，但其特征方程可能有复数根，相应的，特征向量也可能是复向量. 特征向量 ( 是全体 n 维复向量构成的向量空间) 即，一般而言， 特征值 (复数域) 返回 上页 下页 例 1 求矩阵 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式为 令 ，得 A 的 3 个特征值： (单重特征值) (二重特征值) 返回 上页 下页 将特征值分别代入 ，求出特征向量： ① 当 时，解方程组 . 得基础解系 则，对应于 的全部特征向量为 . 返回 上页 下页 ② 当 时，解方程组 . 得基础解系 于是，对应于 的全部特征向量为 如果 A 是 n 阶对角阵或上(下)三角阵， 证 返回 上页 下页 设对角矩阵 A 的主对角元为 ， 上式亦为上(下)三角阵的特征多项式，故有同样结论. 则，特征多项式为 那么，A 的特征值就是其 n 个主对角元. 令 ，可得对角阵的特征值就是其主对角元. 返回 上页 下页 前面指出，在特征多项式 中， 的系数 ； 的系数 ； 常数项 . 二、特征值和特征向量的性质 n 阶矩阵 A 的主对角元之和，称为 A 的迹[记作 tr(A)]. 证 定理 1 设 n 阶矩阵 的 n 个特征值为 , 则，① ② 返回 上页 下页 另外， 是特征方程的根， 的系数和特征多项式相同，因此 的系数和常数项也与特征多项式必相同，即 证毕 即， 的系数 ； 常数项 . 返回 上页 下页 说明 ，故， 若 ，则 A 的特征值全为非零数； 若 ，则 A 至少有一个特征值等于零. 返回 上页 下页 例 2 已知 的 2 个特征值为 ， 解 求 (1) x, y；(2) ；(3) 的秩. (1) (2) 2 是