5–3空间中平面和直线的方程.ppt

* * * * * * * * * * 通过空间一直线L的平面有无限多个，只要在这无限多个平面中任意选取两个， 把它们的方程联立起来，所得的方程组就表示空间直线L． * 容易知道，直线上任一向量都平行于该直线的方向向量． * * * * * 上页 下页 铃 结束 返回 首页 如果一非零向量垂直于一平面, 这向量就叫做该平面的法向量. 法向量 平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直. 当平面?上一点 M0(x0, y0, z0) 和它的一个法线向量 = (A, B, C) 为已知时, 平面?的位置就完全确定了. 唯一确定平面的条件 1. 平面的方程 5-3 空间中平面与直线的方程 设M(x, y, z)是平面?上的任一点, 则有 因为 n=(A, B, C), 平面的点法式方程 已知M0(x0, y0, z0)为平面 上一点, n=(A, B, C)为平面?的一个法(线)向量. 所以 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. 这就是平面 的方程, 称为点法式方程. (x-2)-2(y+3)+3z=0, 即 x-2y+3z-8=0. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 过点 且法线向量为 的平面的方程为 平面的点法式方程 例1 求过点(2, -3, 0)且以 =(1, -2, 3)为法线向量的 平面的方程. 例2 求过三点M1(2,-1, 4)、M2(-1, 3,-2)和M3(0, 2, 3)的平面的方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0, 即14x+9y-z-15=0. 过点 且法线向量为 的平面的方程为 平面的点法式方程 作为平面的法线向量 . 我们可以用 提示： 例3 设P0(x0, y0, z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点, 求P0到这平面的距离. 解 在平面上任取一点P1(x1? y1? z1)? 则P0到这平面的距离为 设 是平面的单位法线向量. 例4 求点(2, 1, 1)到平面 x+y-z+1=0的距离. 点P0(x0, y0, z0)到平面Ax+By+Cz+D=0距离: 解 由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平面都可以用三元一次方程来表示 . 反过来, 可以证明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面. 方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程, 其法线向量为 例如, 方程3x-4y+z-9=0表示一个平面, 平面的一个法线向量为 平面的一般式方程 平面的三点式方程 已知不在同一直线上的三点 与 不共线, 即 以 作为所求平面的法向量. 设 是平面上任一点, 显然 垂直于 此混合积的坐标形式为: 例5 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、 Q(0, b, 0)、R(0, 0, c), 求此平面的方程(a?0, b?0, c?0). 将其代入所设方程, 得 解 因为点P、Q、R都在这平面上? 所以它们的坐标都满足所设方程? 即有 aA?D?0? bB?D?0? cC?D?0? 设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D?0. 上述方程叫做平面的截距式方程, 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距. 平面方程 By＋Cz+D=0 Ax+Cz+D=0 Ax+By+D=0 Cz+D=0 Ax+D=0 By+D=0 法线向量 法线向量垂直于 平面平行于 x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 zOx平面 n?(0, B, C) n?(A, 0, C) n?(A, B, 0) n?(0, 0, C) n?(A