5–5空间曲线的切线和弧长.ppt

曲线方程为参数方程的情况 例. * 复习: 平面曲线的切线与法线 切线方程 法线方程 已知平面光滑曲线 在点 有 5-5 空间曲线的切线与弧长 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程. 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 特点： 例 方程组 表示怎样的曲线？ 解 表示圆柱面， 表示平面， 交线为椭圆. 例 方程组 表示怎样的曲线？ 解 上半球面, 圆柱面, 交线如图. 空间曲线的参数方程 曲线的向量表示 空间曲线是指区间 到空间 的一个连续映射的像. 若 在 有连续的导数,且对于每一点 不同时为零,则称曲线是光滑曲线. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面. 位置. 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 切线方程 即 在 处的切线方程是 此处要求 也是法平面的法向量, 切线的方向向量: 称为曲线的切向量 . 如个别为0, 则理解为分子为 0 . 不全为0, 因此得法平面方程 求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程. 切线方程 法平面方程 即 即 解: 由于 对应的切向量为 在 , 故 曲线的参数方程 曲线的弧长 则弧微分 弧长 如：例2 任一空间曲线可以看作是二个曲面的交线 因为通过一空间曲线的曲面可以有无穷多个, 例如 及 都表示同一空间直线 轴. 故我们可用不同的方法选择其中二个曲面, 使其交线是给定的曲线. 空间曲线的一般方程 *投影曲线与投影柱面 设空间曲线C: 消去变量 后得到方程 这是一个母线平行于 轴的柱面,称之为投影柱面 它显然通过空间曲线C 称 为C在 面上的投影(曲线) 同理,消去(1)中的 或 ,可得曲线C在 或 平面 上的投影 或 投影曲线 投影柱面 空间曲线 补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影. 空间立体 曲面 例 求 在 面上的投影曲线. 解: 先求C投影到 面的投影柱面,即只要从二方程消去 二式相减, 得 将它代入原方程组的第一式(或第二式) 即得投影柱面方程 于是,所求C在 面上的投影曲线的方程是 在 面上的投影曲线分别是. 圆柱螺旋线 例. * 当给定时，就得到曲线上的一个点，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.