6-1空间解析几何简介.ppt

第六章 多元函数微积分 前面各章是一元函数的微积分, 由于二元函数微积分的方法和结论不难推广到 空间解析几何简介 多元函数概念、极限与连续 偏导数与全微分 极值与最值 二重积分 多元函数微积分在理论上与一元微积分平行, 内容包括： 这一章讨论多元函数微积分。 n元函数上去, 因此，本章重点介绍二元函数的微积分。 方法上要复杂一些。 这一节介绍必要的空间解析几何的知识。 6.1 空间解析几何简介 内容包括： 一、空间直角坐标系 三、空间常见曲面与方程 二、空间两点间的距离公式 O点叫原点, Ox, Oy, Oz叫坐标轴 。 空间中取一定点O, 过O作三条互相垂直的数轴OX,OY,OZ, 按右手规则确定方向, 取定长度单位, 便构成一空间 直角坐标系。 6.1.1 空间直角坐标系 右手系 坐标平面: 坐标轴: x 轴 (横轴), y 轴 (纵轴), z 轴 (竖轴). xOy 平面; yOz 平面; xOz 平面. 两条坐标轴确定一个平面叫坐标平面. * 三个坐标平面把空间分为八个部分, 称为八个卦限. * 点P, Q, R为点 M 在坐标轴上的投影, 设 M 为空间内一点, (a, b, c)称为点 M 的坐标. 点 M 记为 M (a, b, c). 坐标平面和坐标轴上的点 , 其坐标各有一定的特征 x 轴上的点, 其坐标为: y 轴上的点, 其坐标为: z 轴上的点, 其坐标为: xOy平面内的点为： yOz平面内的点为： xOz平面内的点为： 原点坐标： (x, 0, 0) (0, y, 0) (0, 0, z) (x, y, 0) (0, y, z) (x, 0, z) (0, 0, 0) * 6.1.2 空间两点间的距离 设 特别地，M(x, y, z), O(0, 0, 0), * 例1 已知空间中三个点的坐标A ( 1, 2, 3 ), B (‐3, 0, 1), C (‐1, ‐1, ‐2), 求△ABC的各边边长. 解 * 6.1.3 曲面方程 定义6.1.1 则方程(1)称为曲面S的方程, 而曲面S称为方程(1)的图形. 若曲面 S 与三元方程 有下述关系： (1) 曲面S上任意一点的坐标都满足方程(1)； (2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1). 解析几何的两个基本问题是: ( a ). 已知曲面建立它的方程。 ( b ). 已知方程, 研究它所表示的曲面的形状。 以下按照方便介绍这两方面的问题, 建立了坐标系, 曲面可用方程表示, 从而可用对方程的研究来研究曲面的性质。 主要目的是熟悉一些方程表示的曲面。 * 解 由定义6.1.1知, 显然 xOy 平面上的点都满足方程 z = 0, 例1. 求三个坐标平面方程. 而满足方程 z = 0的点都在 xOy 平面上. xOy 平面方程为 z = 0. 同理： yOz 平面方程为 x = 0, xOz 平面方程为 y = 0. 1. 平面 例2 作z=c (c是常数)的图形. 此平面可由xOy平面向上(c0)或向下(c0), 平行移动|c|个 单位而得到. 解 方程z=c中不含x, y, 这说明x, y取任何值时, 总有z=c, 其图形为距离xOy平面|c|个单位, 且平行于xOy平面的平面. 同理：平行于yOz坐标平面的平面:x=a 平行于zOx坐标平面的平面:y=b 可以证明： 空间任意一个平面的方程为三元一次方程 其中 A, B, C, D 均为常数，且 A, B, C 不全为零. * 例3 求球心在点 半径为 R 的球面方程. 解 设 M (x, y, z) 是球面上任意一点， 若球心在原点，则球面方程为 故所求球面方程为 是球面的上半部， 是球面的下半部. 2. 球面 * 例4 这个曲面是由平行于z 轴的直线 l 沿 xOy 平面上的圆 解 表示圆心在原点O,半径为R的圆. 在xOy平面上 在空间直角坐标系中, 且平行于 z 轴的直线 l 都在这曲面上, 这个曲面叫做圆柱面. 而平行于z 轴的直线 l 叫做它的母线. 上一点 M (x , y , 0), 凡是通过 xOy 面内圆 移动而成. xOy 面上的圆 叫做它的准线, 3. 柱面 * 一般的，平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 的轨迹 叫做柱面.定曲线 C 叫做柱面的准线，动直线 l 叫做柱面的母线. 只含 x, y 的方程F(x, y) = 0, 在空间直角坐标系中表示母线 平行于 z 轴的柱面.其准线是 xOy 平面上曲线 C:F (x, y) = 0. C l 例如 y 2 = 2