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6.21阶微分方程
一阶微分方程 例 求微分方程 例. 解初值问题 例. 求下述微分方程的通解: 二、一阶线性微分方程 2. 解非齐次方程 例. 解方程 伯努利 ( Bernoulli )方程 例. 求方程 * * 第二节 转化 一、可分离变量微分方程 解分离变量方程 可分离变量方程 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 解: 令 则 故有 即 解得 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) ? 0, 若 Q(x) ? 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 ; 齐次方程通解 非齐次方程特解 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 解: 先解 即 积分得 即 用常数变易法求解. 令 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 伯努利方程的标准形式: 令 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: (线性方程) 的通解. 解: 令 则方程变形为 其通解为 将 代入, 得原方程通解:
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