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6–1平面向量的概念和线性运算
* 课时作业 课堂互动探究 课前自主回顾 与名师对话 高考总复习 · 课标版 · A 数学(理) * 课时作业 课堂互动探究 课前自主回顾 与名师对话 高考总复习 · 课标版 · A 数学(理) 考纲要求 考情分析 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 从近三年的高考试题来看,向量的线性运算、共线问题是高考的热点.尤其向量的线性运算出现的频率较高,多以选择题、填空题的形式出现,属中低档题目,如2012年浙江卷5、辽宁卷3等.主要考查了向量的线性运算及几何意义,另外与向量共线和平面向量基本定理交汇命题,如2012年大纲卷6等. 预测:2013年高考对本部分内容的考查仍以向量的线性运算及几何意义为主,保持选择、填空题形式,难度不大. 大小 方向 长度 长度为0 任意 1个单位 相反 非零 共线向量 相等 相同 相等 相反 相同 平行 b+a a+(b+c) 0+a a |λ||a| λ0 λ0 (λμ)a λa+μa λa+λb 0 b=λa * 课时作业 课堂互动探究 课前自主回顾 与名师对话 高考总复习 · 课标版 · A 数学(理) (对应学生用书P97)
1.向量的有关概念
(1)向量:既有又有的量叫做向量,向量的大小叫做向量的(或模).
(2)零向量:的向量叫做零向量,其方向是的.
(3)单位向量:长度等于的向量.
易错点 零向量“惹的祸”
(4)平行向量:方向或的向量.平行向量又叫,任一组平行向量都可以移到同一条直线上.
规定:0与任一向量.
(5)相等向量:长度且方向的向量.
(6)相反向量:长度且方向的向量.
2.向量的加法和减法
(1)加法
法则:服从三角形法则、平行四边形法则.
运算性质:
a+b=(交换律);
(a+b)+c=(结合律);
a+0==.
(2)减法
减法与加法互为逆运算;
法则:服从三角形法则.
(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想.
(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
问题探究1:你能给出|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)(a,b不共线)的几何解释吗?
答案:B
提示:几何意义是“平行四边形两条对角线的平方和等于它的四条边的平方和”.
4.两个向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得.
问题探究2:两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同?
3.实数与向量的积
(1)长度与方向规定如下:
|λa|=;
当时,λa与a的方向相同;当时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=.
(2)运算律:设λ、μR,则:
λ(μa)=;
(λ+μ)a=;
λ(a+b)=.
提示:平行向量也叫共线向量,这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同,两向量平行时,两向量可以在同一条直线上.
(对应学生用书P97)
1.着重理解向量以下几个方面
(1)向量的模;(2)向量的方向;(3)向量的起点和终点;(4)共线向量;(5)相等向量.
2.当判定两个向量的关系时,特别注意以下两种特殊情况:
(1)零向量的方向及与其他向量的关系;
(2)单位向量的长度及方向.
【解】 (1)证明:=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b
=5(a+b)=5.
、共线,
又它们有公共点B,A、B、D三点共线.
给出下列命题:
(1)两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.
(2)两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.
(3)若|a|=|b|,则a=b.
(4)单位向量都相等.
(5)λa=0(λ为实数),则λ必为零.
(6)λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中错误的命题的个数为( )
A.3B.4 C.5D.6
【解析】 (1)错.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.
(2)对.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.
(3)错.两向量模相等方向不一定相同.
(4)错.要看向量的方向是否相同.
(5)错.当a=0时,不论λ为何值,λa=0.
(6)错.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意向量.
【答案】 C
涉及平面向量的有关概念命题的真假判断,准确把握概念是关键;掌握向量与数的
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