6–2多元函数基本概念.ppt

多元函数的基本概念 一、平面区域的概念 三、二元函数的极限 四、二元函数的连续性 四、小结 * （1）邻域 （2）区域 例如， 即为开集． 连通的开集称为区域或开区域． 例如， 例如， 有界闭区域； 无界开区域． 例如， 二、二元函数的概念 类似地可定义三元及三元以上函数． 例1 求 的定义域． 解 所求定义域为 二元函数 的几何意义 （如下页图） 二元函数的图形通常是一张曲面.定义域D就是该曲面在xOy面上的投影。 例如, 图形如右图. 例如, 左图球面. 单值分支: 说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 例2 例3 求极限 解 其中 例4 证明 不存在． 证 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在． 不存在. 观察 播放 确定极限不存在的方法： 如果函数z=f(x,y)在趋于D内的每一点都是连续则成该函数在区域D内连续，其图形是区域D上一张连续曲面。 例5 讨论函数 在(0,0)的连续性． 解 取 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续． 闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次． 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次． （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理 （3）一致连续性定理 在有界闭区域D上的二元连续函数必定在D上一致连续． 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． 例７ 解 二元函数极限的概念 二元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质 （注意趋近方式的任意性） 二元函数的定义 思考题 思考题解答 不能. 例 取 但是 不存在. 原因为若取 不存在. 观察 观察 不存在. 观察 不存在. 观察 不存在. 观察 不存在. 定义1 设函数的定义域为的某一去心领域属于D，如果当点P(x,y)无限趋于点时，函数无限趋于一个常数A,即当，时的极限， 记为 （或这里）. 若点沿着无数多条平面曲线趋向于点时，函数都趋向于A，能否断定？ 设是平面上的一个点，是某一正数，与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为， 设是平面上的一个点集，如果对于每个点，变量按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称是变量的二元函数，记为（或记为）. 当时，元函数统称为多元函数. 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念. 设函数的定义域为，对于任意取定的，对应的函数值为，这样，以为横坐标、为纵坐标、为竖坐标在空间就确定一点，当取遍上一切点时，得一个空间点集，这个点集称为二元函数的图形. 令沿趋向于，若极限值与有关，则可断言极限不存在； 找两种不同趋近方式，使存在，但两者不相等，此时也可断言在点处极限不存在． 开区域连同它的边界一起称为闭区域.