6–8微分中值定理与导数应用内容提要典型例题.ppt

例 例 返回 后页 前页 §8 微分中值定理与导数的应用 返回 二、典型例题 一、内容提要 习题课 一、内容提要 1. 理解罗尔(Rolle) 定理和拉格朗日(Lagrange)定理. 2. 了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理. 3. 理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调 性和求极值的方法. 5. 会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限. 4. 会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点; 会求解最大值和最小值的应用问题. 会描绘函数的图形(包括水平,铅直和斜渐近线); 洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘;求根方 法. 导数的应用 1.微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 ) )( ( ) ( ) ( 0 0 0 x x x f x f x f - ￠ + = a b a f b f f - - = ￠ ) ( ) ( ) ( x 0 = n 2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (3) 证明恒等式或不等式 (4) 证明有关中值问题的结论 (2) 证明方程根的存在性 利用 一般解题方法: 证明含一个中值的等式或根的存在, 若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用 若已知条件中含高阶导数, 若结论中含两个或两个以上的中值, 3.有关中值问题的解题方法 (1) 可用原函数法找辅助函数. (2) 柯西中值定理. 中值定理. (3) (4) 有时也可考虑 多考虑用泰勒公式, 逆向思维, 设辅助函数. 多用罗尔定理, 必须多次应用 对导数用中值定理. (1) 研究函数的性态: 增减, 极值, 凹凸, 拐点, 渐近线, (2) 解决最值问题 目标函数的建立 最值的判别问题 (3)其他应用: 求不定式极限; 几何应用; 证明不等式; 研究方程实根等. 4.导数应用 二、典型例题 例 证明方程 在(0,1)内至少有一实根 [分析] 如令 则 的符号不易判别 不便使用介值定理, 用 Rolle 定理来证 证 令 则 且 故由Rolle 定理知 即 在(0,1)内有一实根 例 Rolle 定理的推广形式 ① 证 由Rolle 定理知 ② 证一 则由题设知 故由①知 而 证二 若 则结论显然成立 下设 不妨设有 必存在最大值M 即 故由Fermat 定理知 ③ 证一 类似于②证一，作变换 证二 作变换 证三 若 则结论显然成立 下设 不妨设有 必存在最小值m 即 故由Fermat 定理知 ④ 证明与③类似 在 内可导,且 证明: 在 内有界. 证 再取异于 的点 在以 为端点的区间上用 定数 对任意 即证. 例 取点 拉氏定理, 且 试证存在 证 欲证 因 f(x)在[a ,b]上满足拉氏中值定理条件, 故有 将①代入②,化简得 故有 ① ② 即要证 例 证 由介值定理, （1） （2） 注意到 由（1）, （2）有 （3） （4） （3）+ （4）, 得 例 证 法一 用单调性 设 即 由 证明不等式 可知, 即 法二 用Lagrange定理 设 Lagrange定理 由 得 即 例 问方程 有几个实根 解 同时也是最大值 分三种情况讨论 ① 由于 方程有两个实根，分别位于 ② 方程仅有一个实根，即 ③ 方程无实根 ① ② ③ 例 证明不等式 证 设 证明对任意 有 证一 不妨设 证二 解 法一 用三次洛必达法则可求得. 法二 结合其它方法用三次洛必达法则可求得. 法三 x x e e x x x sin lim sin 0 - - ? 求极限 x x e e x x x x sin 1 lim sin sin 0 - - = - ? 原式 x x e e x x x x x sin 1 lim lim sin 0 sin 0 - - × = - ? ? 1 1 1 = × = 例 法四 用Lagrange中值定理 (1) (2) 同理, 所以, x x e e x x x sin lim sin 0 - - ? 求极限 x e x x e e x x = - - sin sin = - - + ? x x e e x x x sin lim sin 0 1 lim 0 = + ? x x e 1 sin lim sin 0 = - - - ? x x e e x x x 1 sin lim sin 0 = - - ? x x e e x x x 例 解 例 解 例 设f(x) 在 [0，1]上有二阶导数， 其中a,b为非负数 求证