7.2–多项式整除性.ppt

§7.2 多项式的整除性 域上关于文字x的多项式 设F是域，x是一个抽象的符号，F上面一个文字x的多项式形式如下： a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an 其中n，n-1，…是非负整数，系数a0，a1，…，an∈F。 x的多项式可用?(x)，g(x)等代表。 注意： 1)若n=0，则此多项式只有一个“常数项” a0，可看作是F中的元素a0。 2)系数是0的项可以删、可以添。 多项式相等 定义7.2.1 两个多项式?(x)和g(x)说是相等的，即?(x)=g(x)，如果可以添上一些系数是0的项使两个多项式完全一样。 结论：?(x)=0当且仅当所有系数a0，a1，…，an都是0。 结论：若?(x)≠0，则总可以删去一些系数是0的项将?(x)化为a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an的形式,其中a0≠0，这时,a0和n显然都是唯一确定的。 多项式运算 规定： 加法?(x)+g(x)：?(x)与g(x)的同次项的系数相加。 乘法?(x)g(x)：?(x)的每一项乘g(x)的每一项：axr·bxs=abxr+s，然后合并同次项，且以加号相联结。 结论：域F上的所有多项式在多项式加法和乘法下作成一个有壹的交换环，记为F[x]。 F[x]包含F为其子域，F中的0就是F[x]的零，F中的1就是F[x]的1，-?(x)就是把?(x)的所有系数取负所得到的多项式。 多项式的次 定义7.2.2 若?(x)≠0，且已化为a0xn+a1xn-1 +…+an-1x+an的形式，其中a0≠0，那么，a0称为?(x)的首系数，n称为?(x)的次数，?(x)的次数记为次?(x)。 规定：常数多项式0的次数是-∞。 例：0x3+2x2-1的次数是2；常数多项式4的次数是0. 结论： 次(?(x)+g(x))≤max(次?(x)，次g(x)) 结论： 次?(x)g(x)=次?(x)+次g(x) 证明： 1)若?(x)≠0，g(x)≠0，设 ?(x)=a0xn+a1xn-1 +…+an-1x+an，a0≠0 g(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm，b0≠0 故?(x)g(x)=a0b0xn+m+…+anbm，a0b0≠0 因此，次?(x)g(x)=n+m=次?(x)+次g(x) 2)若?(x)，g(x)中有一个是多项式0，则 ?(x)g(x)=0，次?(x)g(x)=-∞，由于 -∞+m=-∞, n+(-∞)=-∞, -∞+(-∞)=-∞ 故次?(x)g(x)=次?(x)+次g(x)。 定理7.2.1 域F上x的多项式作成的环F[x]是整区。 证明：只要证明F[x]中无零因子。 若?(x)≠0，g(x)≠0，则 次?(x)≠-∞，次g(x)≠-∞， 故次?(x)g(x)=次?(x)+次g(x)≠-∞， 因而?(x)g(x)≠0。 结论： 对?(x)=q(x)g(x)+r(x)，g(x)≠0，次r(x)次g(x)，则q(x)与r(x)是唯一确定的。 证明：若?(x)=q1(x)g(x)+r1(x)，次r1(x)次g(x)，则q1(x)g(x)+r1(x)=q(x)g(x)+r(x) 从而，(q1(x)-q(x))g(x)=r(x)-r1(x) 若q1(x)-q(x)≠0，则 次(q1(x)-q(x))g(x)≥次g(x)， 但次(r(x)-r1(x))次g(x)，产生矛盾。 因之，q1(x)-q(x)=0，即q1(x)=q(x) 故，r1(x)=r(x)。 习题7.2-4： 试证域F上的多项式环F[x]的理想都是主理想。 证明：设I是F[x]的一个理想。若I中没有非零多项式，则I={0}，它是由0生成的理想。若I中有非零多项式，设其中次数最低的为g(x)。对于它有两种情况： 1)次g(x)=0，即g(x)=a?F，且a?0。a在F中有逆元a-1，a-1a=1?I，故I=F[x]，是由1生成的主理想。 2)次g(x)?0，任取f(x)?I，存在q(x), r(x)?F[x]使得f(x)=q(x)g(x)+r(x)。因为g(x)?I，且I是F[x]的理想，推出r(x)?I。由于g(x)的取法知必有r(x)=0，因此： f(x)=q(x)g(x)?(g(x))。有f(x)的任意性知I?(g(x))。反之，g(x)?I，对任意h(x)?F[x]，g(x)h(x)?I，从而(g(x))?I。综上知I=(g(x))，证毕。 域F的多项式商环 由该例题知多项式环F[x]上的理想都是主理想，即F[x]上的理想都是I=(p(x))的形式，其中p(x)=a0xn+a1xn-1+…+an, a0 ?0。那么域F的多项式商环： F[x]/I={f(x)+I|f(x)?F[x