7.5空间中垂直关系.ppt

(认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定/能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题) 1．定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．交点叫做垂足．直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α. 2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． 4．二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．若棱为l，两个面分别为α，β的二面角记为α－l－β； 5．二面角的平面角 一个平面垂直于二面角α－l－β的棱l，且与两半平面交线分别为OA，OB，O为垂足，则∠AOB是α－l－β的平面角． 两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面． 7．两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 8．两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面． 1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线 解析：若直线l⊥α，l∥α，或l?α，虽然在α内必有直线m，使m⊥l；若l是平面的斜线可找出其射影l′，则存在直线m⊥l′，即m⊥l. 答案：C 2．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分 别为 和 .过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，若AB ＝12，则A′B′等于(　　) A．4 B．6 C．8 D．9 3．已知平面α⊥β，α∩β＝l，P是空间一点，且P到平面α、β的距离分别是1、2，则点P到l的距离为________． 解析：如图，∵PO?平面PAB，∴l⊥PO. ∴PO就是P到直线l的距离． ∵α⊥β，∴PAOB为矩形， 4．平行四边形的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是：①1；②2；③3；④4. 以上结论正确的为________．(写出所有正确结论的编号) 答案：①③ 证线面垂直的方法： (1)利用线面垂直定义：证一直线垂直于平面内任一直线，则这条直线垂直于该平面． (2)用线面垂直的判定定理：证一直线与平面内两相交直线都垂直， 则这条直线与平面垂直． (3)用线面垂直的性质：两平行线之一垂直于这个平面， 则另一条也必垂直于这个平面． (4)用面面垂直的性质定理： 两平面垂直，在一个面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面． (5)用面面平行的性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面． 【例1】 如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面正方形 的中心，M为棱DD1的中点，试证：B1O⊥平面MAC. 证明：证法一：如图(1)，连结AB1、CB1， 由AB1＝CB1，又O为AC的中点， ∴B1O⊥AC.连结OM、MB1、B1D1， 可证 ，∴B1O⊥OM. 根据直线与平面垂直的判定定理知：B1O⊥平面MAC. 证法二：如图(2)建立直角坐标系D—xyz，设DD1＝1则M、C、B1、O的坐标分别为(0,0， )、(0,1,0)、(1,1,1)、( ， ，0)．∴ ＝(0,1，－ )， ＝(－ ，－ ，－1)， ＝－ ＋ ＝0，因此 .同理可证： ，∴B1O⊥平面MAC. 变式1.在四面体A－BCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD， 试证：AD⊥BC. 证明：证法一：如右图，过A点作AO⊥平面BCD， 垂足为O，连结BO、CO、DO. 由AB⊥CD，AC⊥BD， 根据三垂线定理的逆定理知：BO⊥CD，CO⊥BD， 则O为△BCD的垂心，∴DO⊥BC. 根据三垂线定理知AD⊥BC.