7–1空间直角坐标系与向量.ppt

第七章 第一节 一、空间直角坐标系 在直角坐标系下 例1. 在 y 轴上求与两点 二、向量的概念 模、方向角与方向余弦 例+. 已知两点 例+. 设点 A 位于第一卦限, 性质1. 例3. 例4. 已知两点 说明: 由 5、两向量的数量积 3）. 运算律 4）. 数量积的坐标表示 例5. 已知 例6+. 已知三点 1）. 定义 2）. 性质 4）. 向量积的坐标表示式 向量积的行列式计算法 例6 已知 求与 都垂直且满足如下之一条件的向量: 例6+. 已知三点 7、向量的混合积 2） 混合积的坐标表示 3） 性质 例7. 已知一四面体的顶点 补充例. 证明四点 内容小结 混合积: 思考与练习 1）. 定义 设向量 的夹角为? , 称 记作 数量积 (点积) . 5、两向量的数量积 记作 故 2）. 性质 为两个非零向量, 则有 ? (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 事实上, 当 时, 显然成立 ; 设 则 当 为非零向量时, 由于 两向量的夹角公式 , 得 解: 求 故 ? AMB . 解: 则 求 故 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , ? ? 称 例如力矩 思考: 右图三角形面积 S＝ 6、两向量的向量积 为非零向量, 则 ∥ ∥ 3）. 运算律 (2) 分配律 (3) 结合律 (证明略) 证明: 设 则 ( 行列式计算见 P339～P342 ) (1) 为单位向量; (2) ,其中 解 与 都垂直, 所以与 (2) 设 ,则 又 得 所以 (1) 角形 ABC 的面积 . 解: 如图所示, 求三 1）定义 已知三向量 称数量 混合积 . 记作 几何意义 为棱作平行六面体, 底面积 高 故平行六面体体积为 则其 设 (1) 三个非零向量 共面的充要条件是 (2) 轮换对称性 : (可用三阶行列式推出) 4 ) , 求该四面体体积 . 解: 已知四面体的体积等于以向量 为棱的平行六面体体积的 故 共面 . 解: 因 故 A , B , C , D 四点共面 . 设 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积: 2. 向量关系: 1. 设 计算 并求 夹角? 的正弦与余弦 . 答案: 2. 用向量方法证明正弦定理: L.P204~P206 2000年考题 ? ? ? ? 数量关系 — 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 基本方法 — 坐标法; 向量法 坐标, 方程（组） 空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算 一、空间直角坐标系 三、向量的线性运算 二、向量的概念 空间直角坐标系与向量代数 第七章 Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 o , 坐标面 卦限(八个) zox面 Ⅰ 1. 空间直角坐标系的基本概念 向径 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴 : 坐标面 : 为空间两点. 在直角三角形 和 中, 用勾股定理 2.空间两点间点的距离 空间两点间距离公式 解: 设该点为 解得 故所求点为 及 思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ? 等距离的点 . 向量表示: 向量的模 : 向量的大小, 向量: (又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a , 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－a ; 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称 ? =∠AOB (0≤ ?≤ ? ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角? , ? , ?