7–2向量线性运算.ppt

第二节 一、向量的概念 二、向量的线性运算 2. 向量的减法 3. 向量与数的乘法 3、向量在轴上的投影与投影定理 三、向量的坐标表示 方向角与方向余弦 五、小结 * * 第七章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量的线性运算 二、向量的坐标表示 一、向量的概念及线性运算 二、向量的模与方向余弦 向量的表示法: 向量的模 : 向量的大小, 向量: (又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量。 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 如不特殊说明，以后讨论的向量都是自由向量 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k个向量共面 . 记作－a ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数乘符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 1. 某向量的单位向量 按照向量数乘的定义， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 向量的共线 若一组向量平行于同一条直线（认为零向量平行于任何一条直线），则称它们是共线的，这组向量也称共线向量（或平行向量） 几个常用概念： 证明： 充分性：显然。 定理1: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 必要性： 结论成立 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两式相减，得 例1:试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形. 证 与 平行且相等。 结论得证. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间一点在轴上的投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间一向量在轴上的投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 关于向量的投影定理（1） 证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 关于向量的投影定理（2） （可推广到有限多个） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 关于向量的投影定理（3） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间一点在平面上的投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间一向量在平面上的投影 在空间直角坐标系下，起点在坐标原点的向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为向径。 向量， 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 因为，我们所讨论的向量都是自由 所以，在空间直角坐标系下, 下面我们就来讨论向径在 OM 直角坐标系下的坐标表示。 设点 则 沿三个坐标轴方向的分向量. M 的坐标为 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为向量 r 的坐标 。 向量线性运算的坐标表示 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如： 说明： 解 设 为直线上的点， 由题意知： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 正确答案是：(4) 半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时 , 点击图中任意点动画开始或暂停 其上一 定点的轨迹称为摆线. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2a 2?a 0 y x ?a t a