7–4平面和其方程三版.ppt

第四节 平面及其方程 点的轨迹.方程的概念 平面的点法式方程 平面的一般方程 两平面的夹角 一、点的轨迹.方程的概念 平面解析几何把平面曲线当作点的轨迹， 在空间解析几何中，任何曲面或曲线都看作点的几何轨迹。 曲面方程的概念 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 下表给出几种平面的特殊情况： ?条件例子特点 1 D=0 Ax+By+Cz=0 平面过原点 2 A，B，C 中有一个为0 Ax+Cz+D=0 平面与y轴平行 Ax+Cz=0 平面过y轴 3 A，B，C 中有二个为0 Ax+D=0 平面平行于yoz坐标面 Ax=0 平面即为yoz坐标面 四、两平面的夹角 五、小结 * 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义： 曲面的实例： 以下给出几例常见的曲面. 解 根据题意有 所求方程为 特殊地：球心在原点时方程为 解 根据题意有 所求方程为 根据题意有 化简得所求方程 解 例4 方程 的图形是怎样的？ 根据题意有 图形上不封顶，下封底． 解 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论旋转曲面） （讨论柱面、二次曲面） （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 设平面上的任一点为 必有 平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形． 其中法向量 已知点 解 取 所求平面方程为 化简得 由平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 平面一般方程的几种特殊情况： 平面通过坐标原点； 平面通过 轴； 平面平行于 轴； 平面平行于 坐标面； 类似地可讨论 情形. 类似地可讨论 情形. 取法向量 化简得 所求平面方程为 解 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解 设平面为 将三点坐标代入得 解 将 代入所设方程得 平面的截距式方程 设平面为 由所求平面与已知平面平行得 （向量平行的充要条件） 解 化简得 令 代入体积式 所求平面方程为 定义 （通常取锐角） 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征： // 例6 研究以下各组里两平面的位置关系： 解 两平面相交，夹角 两平面平行 两平面平行但不重合． 两平面平行 两平面重合. 解