8.4特征值和特征向量.ppt

8.4 特征值与特征向量 一. 引入特征值、特征向量概念 二. 特征值、特征向量概念 三. 特征多项式的性质 一. 特征值、特征向量概念引入 问题： 对任意的A∈L(V), 如何找到一个基，使A 在该基下的矩阵最简单？ 定义4 A ∈L(V), 若存在A ∈P，存在ξ(≠0)∈V，使得 A ξ=λ0ξ （1），则称λ0为A 的特征值，ξ为A 的属于λ0的特征向量. 几何意义：V3中， A ξ与ξ 在同一直线上，其长度相差|λ0|倍. 特征向量不为特征值所唯一确定，而特征值为特征向量所唯一确定（即特征向量只能属于一个特征值）. 证明：1）A ξ＝λ0ξ → 对任意的k∈P, k≠0, A (kξ) ＝kA ξ＝k(λ0ξ)＝λ0(kξ) . □ 即: 凡kξ都是A 的属于λ0的特征向量. 2) 设α是A 的属于特征值λ1 ,λ2 特征向量 → A α= λ1α= λ2α → (λ1 －λ2)α= o → 因α≠0, 故 λ1 －λ2 = o → λ1 =λ2 . □ Vλ={α∈V | Aα=λα}是V的子空间，称为A 的属于特征值λ的特征子空间，由A 的属于特征值λ的特征向量与零向量(非λ的特征向量)组成. 证明：对任意的 k∈P, α,β∈Vλ ,A (α＋β) = A (α)＋A (β) = λα＋λβ= λ(α＋β) → α＋β ∈Vλ A (kα) = kA α= k (λα) =λ(kα) → kα∈Vλ 故Vλ是V 的子空间. □ 例 取数乘变换K ∈L(V)，对任意的α(≠ 0)∈V, k∈P, K (α) = kα, 即V中非零向量均为K 的属于特征值 k 的特征向量，特征子空间即为V. 特别当 k = 1时, V中非零向量均为恒等变换 E 的属于特征值的特征向量； 当k = 0 时,V中非零向量均为零变换 O 的属于特征值0 的特征向量. 它们的特征子空间均为V. 二. 特征值、特征向量的计算 1. 命题 : 设A (∈L(V))在基ε1,ε2, ···,εn 下的矩阵A= (aij)n×n , 则 ξ= x1ε1+ x2ε2 + ··· + xnεn 是A 的属于特征值λ的特征向量的充要条件是 该命题说明，λ是否为A 的特征值，ξ(≠0) 是否为A 的属于λ的特征向量，关键在于 |λE－A| 是否等于0，故有必要研究多项式 |λE－A| 的特性 → 促使引入一下概念： 2. 定义5 A∈Pn×n, λ是文字，矩阵 |λE－A| 的行列式 称为矩阵A的特征多项式，记为 fA(λ) . fA(λ) = |λE－A| ∈P[x], ? fA(λ) = n . λ为A 的特征值的充要条件是fA(λ) = 0 . 3. 求特征值，特征向量的方法 （对给定的A ） 例4 S θ：V2→V2 , S θ (α) =α/ (α按逆时针方向旋转 θ度得α/ ).(即二维平面上的旋转变换, 见P274例1). 三 特征多项式 fA(λ) (A∈Pn×n, P为复数域)的性质 * * 两集合无公共向量 A λ1 统领的特征向量全体 λ2 统领的征征向量全体 对命题《λ是A 的特征值的充要条件是 fA(λ) = 0 》 的证明分析: 以上讨论说明，线性变换A 的特征值均为 fA (λ)的 根，设λ0是的特征值，即 fA (λ0) = |λ0 E－A| = 0 → 如上齐次线性方程组 (λ0E－A)X=0 的非零解均为A 的 属于特征值λ0 的特征向量 → 给出如下课题的思路： 该实例说明：导数为0的多项式只能是零或非零常数， 其中非零常数均为求导线性变换D 的属于特征值0的 特征向量. 作业：P324. 习题19. 1)；3)；5)；7). * 例 分别是V的两个基， → 。 例 分别是V的两个基， → 。 1. 1. 1. 1. 1.