8.7立体几何中向量方法.ppt

2.若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的 夹角来运算. (1)求两异面直线a、b的夹角θ，须求出它们的 方向向量a，b的夹角,则cos θ=|cos〈a,b〉|. (2)求直线l与平面α所成的角θ 可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a 的夹角.则sin θ=|cos〈n,a〉|. (3)求二面角α—l—β的大小θ，可先求出两个 平面的法向量n1,n2所成的角，则θ=〈n1,n2〉或 π-〈n1,n2〉. 3.求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开 以该点为端点的平面的斜线段. 失误与防范 1.用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立 体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证 明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行, 即化归为证明线线平行，用向量方法证直线 a∥b，只需证明向量a=λb（λ∈R）即可.若用 直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面 平行，仍需强调直线在平面外. 2.利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为 各空间角.因为向量夹角与各空间角的定义、范 围不同. 一、选择题 1.已知 =（1，5，-2）， =（3，1，z），若 ⊥ ， =（x-1， y，-3），且BP⊥平面 ABC，则实数x，y，z分别为 ( ) A. B. C. D. 定时检测 解析 即3+5-2z=0， 得z=4， 又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC， =（3，1，4），则 答案 B 2.长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1， E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余 弦值为 ( ) A. B. C. D. 解析 建立坐标系如图. 则A(1,0,0),E(0,2,1)， B(1,2,0)，C1(0,2,2）. B 3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AB的中点,则 的值等于 ( ) A. B. C. D. 解析 以D为原点,DA、DC、DD1分 别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 系，设正方体棱长为1，易知 B 4.设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到 平面A1BD的距离是 ( ) A. B. C. D. 解析 如图建立空间直角坐标系， 则D1（0，0，2），A1（2，0，2）， D（0，0，0），B（2，2，0）， =（2，0，0）， =（2，0，2）， =（2，2，0）， 设平面A1BD的法向量n=（x，y，z）， 令x=1,则n=(1,-1,-1), ∴点D1到平面A1BD的距离 答案 D 5.P是二面角α—AB—β棱上的一点，分别在α、β 平面上引射线PM、PN，如果∠BPM=∠BPN=45°, ∠MPN=60°，那么二面角α—AB—β的大小为 ( ) A.60° B.70° C.80° D.90° 解析 不妨设PM=a，PN=b,如图, 作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F， ∵∠EPM=∠FPN=45°， * §8.7 立体几何中的向量方法 要点梳理 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 （1）直线的方向向量：在直线上任取一 向 量作为它的方向向量. （2）平面的法向量可利用方程组求出：设a,b是 平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为 非零 . 基础知识 自主学习 2.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2， 则l1与l2所成的角θ满足 . (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别 为m,n，则直线l与平面α所成角θ满足 . (3)求二面角的大小 ①如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面 内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ= . cos θ=|cos〈m1,m2〉| sin