一元微积分的应用复习T.doc

第六章 一元微积分的应用 一. 选择题 1. 设f(x)在(－(, +()内可导, 且对任意x1, x2, x1 x2时, 都有f(x1) f(x2), 则 (a) 对任意x, (b) 对任意x, (c) 函数f(－x)单调增加 (d) 函数－f(－x)单调增加 (d)为答案 2. 设f(x)在[－(, +(]上连续, 当a为何值时, 的值为极小值. (a) (b) (c) (d) （b） 3. 函数y = f(x)具有下列特征: f(0) = 1; , 当x ( 0时, ; , 则其图形 (a) (b) (c) (d) 1 1 1 1 . (b)为答案. 4. 设三次函数, 若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是 (a) 关于y轴对称 (b) 关于原点对称 (c) 关于直线y = x轴对称 (d) 以上均错 (b)为答案. 5. 曲线与x轴所围图形面积可表示为 (a) (b) (c) (d) (c)为答案. 二. 填空题 1. 函数 (x 0)的单调减少区间______. 0 x . 2. 曲线与其在处的切线所围成的部分被y轴分成两部分, 这两部分面积之比是________. 3. 二椭圆, ( a b 0)之间的图形的面积______. = 4. x2 + y2 = a2绕x =－b(b a 0)旋转所成旋转体体积_______. (5) 求心脏线( = 4(1+cos()和直线( = 0, ( =围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_____. 三. 计算题 1. 在直线x－y + 1=0与抛物线的交点上引抛物线的法线, 试求由两法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积. 15/4. 2. 求通过点(1, 1)的直线y = f(x)中, 使得为最小的直线方程. y = 2x－1 3. 求函数的最大值与最小值. 最大值, 最小值. 4. 已知圆(x－b)2 + y2 = a2, 其中b a 0, 求此圆绕y轴旋转所构成的旋转体体积和表面积. = =. 5. 设有一薄板其边缘为一抛物线(如图), 铅直沉入水中, i. 若顶点恰在水平面上, 试求薄板所受的静压力. 将薄板下沉多深压力加倍? ii. 若将薄板倒置使弦恰在水平面上, 试求薄板所受的静压力. 将薄板下沉多深压力加倍? i , h = 12 ii. 2560 h = 18 四. 证明题 1. 设f(x)为连续正值函数, 证明当x ( 0时函数单调增加. 2. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内, 证明在(a, b)内单增. 3. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导且, 求证: 在(a, b)内也. 4. 证明方程在(0, 1)内有唯一实根. 5. 设a1, a2, …, an为n个实数, 并满足. 证明: 方程 在(0, )内至少有一实根. 五. 作图 1. 2. 3