公共基础数学之积分学学习笔记.docx

1.3积分学1.3.1 不定积分与定积分1. 积分是干嘛的？微分学和积分学在函数的基础上不断变化，用来描述这个世界上不断变化的事情，微积分在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等方面都有应用。比如自动调节阀有比例调节、微分调节、积分调节，是不是就是一个应用呢？我现在还没有接触到最本质的东西，只是知道很有用，那就先学好吧。2. 定积分是一个数值，几何意义是函数与、两条直线形成曲边梯形的面积3.不定积分顾名思义，是不确定的，所以不可能是一个数。事实上不定积分是一个函数。的不定积分（又称原函数）是任何满足其导函数是的函数。一个函数的不定积分不是唯一的：只要是的不定积分，那么与之相差一个常数的函数也是函数的不定积分。4. 定积分中值定理：设在闭区间上连续，则存在，使得5. 牛顿-莱布尼茨公式6.换元积分法举例子吧第二类换元法：设设设7.分部积分法8.积分上限的导数公式1.3.2 广义积分（反常积分）1. 广义积分的定义反常积分，可以理解为不正常积分。前面学到的是定积分与不定积分，这两者中被积函数是确定的，积分上下限要么没有（不定积分）、要么都是确定的（定积分），而现在我们讨论的反常积分就是不同于前面的情况：积分上限为无穷大或者下限为无穷大，或者两者都为无穷大，即无穷限的广义积分；被积函数是无界函数时的积分称为无界函数的广义积分。2.具体求法求反常积分的本质就是求极限。当上下限都为无穷大时，将原积分积分区域以0 分开，变成两个积分的和，分别求积分。运用前面学到的各种换元法等，求出积分，代入上下限，得到积分值。3. 收敛当广义积分等价的极限存在时，收敛。极限不存在时，发散。1.3.3 定积分的应用1. 求平面图形的面积直角坐标情形极坐标情形2. 求旋转体的体积应用：推导球缺（旋转体）的体积公式如上图：3. 求平面曲线的弧长直角坐标情形曲线的函数方程为，在定区间内具有一阶导数，则弧长为：参数方程情形, ，在闭区间有连续导数，则极坐标情形曲线的极坐标方程为，且在闭区间上有连续导数，则1.3.4 重积分1.二重积分如上图，一阶积分的意义是平面的面积，二重积分一定是体积了呀。重积分与单积分有本质上的不同：二重积分叫积分区域，是一个面积范围；单积分叫积分上下限，是一个段；二重积分的积分区域用联合表示，单积分只用就可表示；单积分的被积函数是，而二重积分的被积函数是，这是有本质的区别。即单积分自变量，因变量，而二重积分自变量因变量，两者相乘自然就是体积。表示方法：用一个表示底面积，另一重表示高当时，二重积分在几何上表示以曲面为顶、闭区域D为底的曲顶柱体的体积。计算方法直角坐标系将二重积分化成先对x，后对y（或先y后x）的二次积分，成为第一节已经学过的内容。关键：是将定义区间（一个区域，用x，y的关系表示）在x和y上分解，变成二次积分，且其中一个上下限均是常数，另一个上下限中可以有函数。积分时先积带函数者，最后积常数者。（对同一个区域，可以交换积分次序，进行x，y表示的变换，有时候会变得简单）极坐标系理解用来表示一个区域的方法，进而将二重积分转化成先对再对的二次积分。关键：涉及圆的都用极坐标较为简单，通式是，这样表示的就是一个区域，而单纯的表示一个圆弧，注意区分两者的不同。难点：上图为第一次思考的结果，没有证明出来弦长此图中的第一象限的半圆弧上任意一点与坐标原点连线的长度，通过一个圆心在坐标原点、半径为1的圆结合辅助线即可证明。（三角形全等）得，即当点在半圆弧上移动时，连线的长度永远等于的正弦值。把弦长与正弦值联系起来的话，就能验证了“正弦值在上是单调递增的”这一结论，即弦长是不断增加的。2.三重积分核心内容就是将多重积分的积分区域进行投影，转化成多次积分，化整为零。直角坐标该怎么来就怎么来，一般来说先把z 表示出来（有函数也没关系，先积它），而后的x与y就和二重积分一样了。当z的积分上下限可以用常数表示时，可以放在最后积。柱面坐标柱面坐标是个挺神奇的东西，是在极坐标的基础上多了个z，其实特别好理解，也是在遇到圆、球之类的曲面进行柱面坐标的使用。具体来说一般还是先把z表示出来，另外两个按照平面极坐标来表示就好了。化三重积分为三次积分。球面坐标用两个角的两个三角函数结合进行表示。1.3.5 重积分的应用在前面讲定积分的应用的时候讲定积分可以求平面图形的面积、旋转体的体积以及平面曲线的弧长（求弧长时三种坐标表示法都用到了导数）。类比一下，重积分可以应用在什么地方呢？求空间曲面的面积类比定积分应用中求平面曲线的弧长。（根号1加导数平、根号导平加导平、根号平加导平）设曲面的方程为，在面上的投影区域为D，在D上具有一阶连续偏导数，则曲面的面积2.求体积（在上节中的例题内大量提到）3.求质量、重心与转动惯量设平面薄片占有面上的区域D，薄片在D上任一点处的面密