微积分7-6习题.docx

习题7-6 1. 求过点(4, -1, 3)且平行于直线的直线方程. 解 所求直线的方向向量为s=(2, 1, 5), 所求的直线方程为 . 2. 求过两点M1(3, -2, 1)和M2(-1, 0, 2)的直线方程. 解 所求直线的方向向量为s=(-1, 0, 2)-(3, -2, 1)=(-4, 2, 1), 所求的直线方程为 . 3. 用对称式方程及参数方程表示直线. 解 平面x-y+z=1和2x+y+z=4的法线向量为n1=(1, -1, 1), n2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为 . 在方程组中, 令y=0, 得, 解得x=3, z=-2. 于是点(3, 0, -2)为所求直线上的点. 所求直线的对称式方程为 ; 参数方程为 x=3-2t, y=t, z=-2+3t . 4. 求过点(2, 0, -3)且与直线垂直的平面方程. 解 所求平面的法线向量n可取为直线的方向向量, 即 . 所平面的方程为 -16(x-2)+14(y-0)+11(z+3)=0, 即16x-14y-11z-65=0. 5. 求直线与直线的夹角的余弦. 解 直线与的方向向量分别为 , . 两直线???间的夹角的余弦为 . 6. 证明直线与直线平行. 解 直线与的方向向量分别为 , . 因为s2=-3s1, 所以这两个直线是平行的. 7. 求过点(0, 2, 4)且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行的直线方程. 解 因为两平面的法线向量n1=(1, 0, 2)与n2=(0, 1, -3)不平行, 所以两平面相交于一直线, 此直线的方向向量可作为所求直线的方向向量s, 即 . 所求直线的方程为 . 8. 求过点(3, 1, -2)且通过直线的平面方程. 解 所求平面的法线向量与直线的方向向量s1=(5, 2, 1)垂直. 因为点(3, 1, -2)和(4, -3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量s2=(4, -3, 0)-(3, 1, -2)=(1, -4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为 . 所求平面的方程为 8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0, 即8x-9y-22z-59=0. 9. 求直线与平面x-y-z+1=0的夹角. 解 直线的方向向量为 , 平面x-y-z+1=0的法线向量为n=(1, -1, -1). 因为 s×n=2′1+4′(-1)+(-2)′(-1)=0, 所以s ^n, 从而直线与平面x-y-z+1=0的夹角为0. 10. 试确定下列各组中的直线和平面间的关系: (1)和4x-2y-2z=3; 解 所给直线的方向向量为s=(-2, -7, 3), 所给平面的法线向量为n=(4, -2, -2). 因为s×n=(-2)′4+(-7)′(-2)+3′(-2)=0, 所以s^n, 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(-3, -4, 0)不满足平面方程4x-2y-2z=3, 所以所给直线不在所给平面上. (2)和3x-2y+7z=8; 解 所给直线的方向向量为s=(3, -2, 7), 所给平面的法线向量为n=(3, -2, 7). 因为s=n, 所以所给直线与所给平面是垂直的. (3)和x+y+z=3. 解 所给直线的方向向量为s=(3, 1, -4), 所给平面的法线向量为n=(1, 1, 1). 因为s×n=3′1+1′1+(-4)′1=0, 所以s^n, 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(2, -2, 3)满足平面方程x+y+z=3, 所以所给直线在所给平面上. 11. 求过点(1, 2, 1)而与两直线 和 平行的平面的方程. 解 直线的方向向量为 , 直线的方向向量为 . 所求平面的法线向量可取为 , 所求平面的方程为 -(x-1)+(y-2)-(z-1)=0, 即x-y+z=0. 1