第二章圆锥曲线与方程第四讲直线与圆锥曲线的位置关系.doc

第二章　圆锥曲线与方程 第四讲　直线与圆锥曲线的位置关系 [知识梳理] ［知识盘点］ 一．直线与圆锥曲线的位置关系 1．代数法：判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程不同时为代入圆锥曲线的方程，消去(也可以消去)得到一个关于变量(或)的一元方程，即消去后得， (1)当时，则有，直线与曲线 ；，直线与曲线 ；，直线与曲线 。 (2)当时，即得到一个一次方程，则与相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是 ；若是抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是 。 2．几何法：直线与圆锥曲线的位置关系可分为三类： (1)直线与圆锥曲线没有公共点直线与圆锥曲线 ； (2) 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点对椭圆而言，直线与椭圆 ；对双曲线而言，表示直线与其相切或与双曲线的渐近线 ，对于抛物线而言，表示直线与其 或与其对称轴平行； (3) 直线与圆锥曲线有个相异的公共点直线与圆锥曲线 ，此时直线被圆锥曲线所截得的线段称为圆锥曲线的弦。 二．中点弦问题 已知弦的中点，研究的斜率与方程. 3． 是椭圆的一条弦，中点M坐标为，则直线的斜率为 。运用点差法求的斜率：设都在椭圆上，则，两式相减，得， ，从而 ， 故 。 运用类比思想，可以推出已知是双曲线的弦，中点M，则 ； 已知抛物线的弦的中点M，则 . 三．弦长问题. 4．(1)斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点，，则所得的弦长 或 ，其中求与时，常使用韦达定理，即做如下变形：，. (2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算； (3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为 ，往往比利用弦长公式简单。 ［特别提醒］ 直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点，这类问题常涉及到圆锥曲线的性质与直线的基本知识中的点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时要借助于数形结合思想、设而不求法及弦长公式及韦达定理综合考虑，这样就加强了对数学各种能力的考查。因此要注意对数学思想、数学方法的归纳与提炼，达到优化解题的目的。 1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，常会出现漏解的情况，用代数法求解时，易忽视消元后一元二次方程的二项式系数是否为零的讨论；在利用几何法解题时，易忽视特殊情况的讨论，如与双曲线的渐近线平行，与抛物线的对称轴平行等特殊情况；这些情况要特别加以注意； 2．解决直线与圆锥曲线相交问题时，不要忽视这一条件； 3．在判断直线与圆锥曲线的位置关系时，要注意数形结合，以形辅数的方法； 4．与焦点弦有关的问题，要注意应用圆锥曲线的定义，涉及到中点的问题，除利用韦达定理以外，用“点差法”也较为简单。 [基础闯关] 1．过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有( ) (A)1条 (B)2 条 (C)3条 (D)4条 2．与直线平行的抛物线的切线方程为( ) (A) (B) (C) (D) 3．抛物线过焦点的弦的中点的轨迹方程是( ) (A) (B) (C) (D) 4．(2005年济南模拟试题)直线与椭圆相交于两点，椭圆上的点使的面积等于12，这样的点C共有( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 5．过抛物线的焦点作垂直与轴的直线，交抛物线于两点，则以为圆心，为直径的圆的方程是 . 6．已知直线与抛物线交于两点，且过抛物线的焦点，点A的坐标为，则线段AB的中点到抛物线准线的距离是 . [典例精析] 例1．已知直线与曲线恰有一个公共点，求实数的值。 ［剖析］首先考虑曲线是否是抛物线，当时，是直线，因此要对进行讨论，然后就时，联立直线与抛物线组成的方程组进行求解。 ［解］联立方程 (1)当时，此方程组恰有组解 ； (2)当时，消去，得； ①当，即时，方程变为一元一次方程，方程恰有一组解； ②若，即时，令，得，解得，此时直线与曲线相切，有且只有一个公共点. 综上所述，当，或时，直线与曲线恰有一个公共点。 ［警示］本题设计了两个思维陷阱，第一个就是同学们在审请的过程中往往视的情