关于有限无法的总结及讨论.ppt

总结对弹性力学基本方程 讨论求解弹性力学问题的方法 § 弹性力学基本方程 总结弹性力学基本理论； 讨论已知物理量、基本未知量；以及物理量之间的关系——基本方程和边界条件。 弹性问题的能量表示 对于复杂的弹性结构，上述15个方程的求解，寻求解析解是非常困难的。因此常采用泛函变分原理来求解弹性力学问题，即把上述求解微分方程的边值问题转化为求解泛函的极值问题。 在弹性力学中，这种泛函就是物体的能量表达式，所以，弹性力学问题的这种基于变分原理的求解方法就称为能量原理。 能量原理是求解复杂弹性力学问题最有效的方法，也是有限元法的基础。 虚功原理 对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。 虚功原理与虚功方程 虚功原理表述如下： 在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功(各力所作的功的代数和)恒对于零。 虚功原理用公式表示为： 这就是虚功方程，其中P和 相应的代表力和虚位移。 虚功原理----用于弹性体的情况 虚功方程(2-16)是按刚体的情况得出的，即假物体是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程中没有内功项出现，而只有外功项。 将虚功原理用于弹性变形时，总功W要包括外力功(T)和内力功(U)两部分，即： W = T - U ；内力功(-U)前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。 根据虚功原理，总功等于零得： T - U = 0 外力虚功 T = 内力虚功 U 弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功)。 虚功原理----用于弹性体的情况 i点外力分量 j点外力分量 外力分量用 表示；引起的应力分量用 表示 虚功原理----用于弹性体的情况 假设发生了虚位移 虚位移分量为 用 表示；引起的虚应变分量用 表示 虚功原理----用于弹性体的情况 在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是： 式中 是 的转置矩阵。 同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚功是： 因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是： 根据虚功原理得到： 这就是弹性变形体的虚功方程，它通过虚位移和虚应变表明外力与应力之间的关系。 虚功原理----用于弹性体的情况 应该指出，在虚位移发生时，约束力(支座反力)是不做功的，因为约束力在其所约束的方向是没有位移的。但是如果解除了某一个约束，而代之以约束力，那么，在虚位移发生时，这个约束力就要在相应的虚位移上做虚功，而这个约束力的分量及其相应的虚位移分量就应当作为列矩阵 及 中的元素进入虚功方程(2-17)。 虚位移和虚应变表明了外力和应力之间的关系。 最小势能原理（续） 定义：平衡时，所有可允许位移（可能位移）中，真实位移使总势能取极小值： 可能位移是满足协调方程与位移边界条件的位移。 意义：因为位移满足了连续性条件和位移边界条件，由最小势能原理可导出平衡方程和应力边界条件。 由此导出有限元基本方程 二、有限元法的基本原理 【例】高深悬臂梁平面问题的有限元分析 入图所示为一高深悬臂梁，在右端部受集中力F作用，材料弹性模量为E、泊松比μ=1/3，悬臂梁的厚度(板厚)为t，不计体力，试按平面应力问题计算各个节点位移及支座反力。 (a)问题描述 (b)有限元分析模型 图 右端部受集中力作用的高深梁 有限元法过程 结点位移和结点坐标 有限元方程 （单元刚度矩阵和结构整体刚度矩阵） 结点等效载荷 引入位移边界条件 单元位移函数 图10-2 3结点三角形单元 单元位移函数 每个结点的位移分量还可以向量（列矩阵）形式表示，即 每个单元共有6个结点位移，即6个结点自由度，统一写成矩阵形式为 广义坐标 整理为矩阵形式，即有