山东大学 自动控制原理 7-1描述函数法.ppt

7.1 典型非线性特性 前面各章研究的都是线性系统，或者虽然是非线性系统，仍可进行线性化处理，从而可视为线性系统。事实上，几乎所有的实际控制系统，都不可避免地带有某种程度的非线性、系统中只要具有一个非线性环节，就称为非线性系统。因此实际的控制系统大都是非线性系统。本章将主要讨论关于非线性系统的基本概念，以及两种基本分析方法：描述函数法和相平面法。 7.1 典型非线性特性 在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出间的静特性曲线，不是一条直线，则称为非线性特性。如果这些非线性特性不能采用线性化的方法来处理，称这类非线性为本质非线性。为简化对问题的分析，通常将这些本质非线性特性用简单的折线来代替，称为典型非线性特性。 7.1.1 典型非线性特性的种类 1．饱和特性 7.1.2 非线性系统的若干特征 由于上述非线性特性的存在，与线性系统相比，非线性系统具有如下特点： （1）稳定性的复杂性。 （2）可能存在自激振荡现象 。 （3）频率响应。 7.1.3 非线性系统的分析方法 到目前为止，非线性系统的研究还缺乏成熟，结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种： （1）小偏差线性化（非本质非线性） （2）描述函数法（本质非线性） 这是一种频域分析方法，其实质是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化，然后用频率法的结论来研究非线性系统。它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，这种方法不受系统阶次的限制。 （3）相平面法（本质非线性） 相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法。通过在相平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。这是一种时域分析法，但仅适用于一阶和二阶系统。 （4）计算机求解法 用模拟计算机或数字计算机直接求解非线性微分方程，对于分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的方法。 7.2 描述函数 7.2.1 描述函数的定义 1. 描述函数的应用条件 （1）非线性系统的结构图可简化成一个非线性环节N和一个线性部分G(s)串联的闭环结构。 2.描述函数的定义 设系统的非线性环节输入信号是正弦信号 x(t) = Asin?t 则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级数 7.2.2 描述函数的求法 解：该死区非线性特性可分解为一个死区继电器特性和一个典型死区特性的并联，描述函数为 例7-2 求图所示两个非线性特性串联后总的描述函数N(A)。 2.自振荡的分析与计算 下面从信号的角度分析自振荡产生的条件。在图示非线性系统中，若产生自荡，则意味着系统中有一个正弦信号在流通，不妨设非线性环节的输入信号为 x(t)=Asin?t 则非线性环节输出信号基波分量为 y1(t)=?N(A)?A sin[?t + ?N(A)] 而线性部分的输出信号为 c(t) =?G( j?)N(A)?Asin[?t + ?G( j?)+?N(A)] 根据系统中存在自振荡的假设，r(t)=0，故 x(t) = ? c(t) 即 Asin?t = ??G( j?)N(A)?Asin[?t +?G( j?)+?N(A)] 值得注意的是，由前面推导自振荡产生的条件时可知，对于稳定的自振荡，计算所得到的振幅和频率是非线性环节的输入信号x(t)=Asin?t的振幅和频率，而不是系统的输出信号c(t)。 例7-3 具有理想继电器特性非线性系统如图所示，试确定其自振荡的幅值和频率。 (1) 若G(s)曲线不包围?1/N(A)曲线，则非线性系统是稳定的。 (2) 若G(s)曲线包围?1/N(A)曲线，则非线性系统是不稳定的。 (3) 若G(s)曲线与?1/N(A)曲线相交，则在理论上将产生等 幅振荡或称为自振荡。 G( j?) 0 Im -1/N(A) Re G( j?) 0 Im Re -1/N(A) G( j?) 0 Im Re -1/N(A) M2 M1 所以 ?G( j?)N(A)? = 1 ?G( j?) + ?N(A) = ?? G( j?) 0 Im Re -1/N(A) M2 M1 d c b a M1点是稳定的自振荡。M2是不稳定的振荡点。 对于稳定的自振荡，其振幅和频率是确定的，并可以测量得到。计算时: 振幅可由?1/ N(A)曲线的自变量A 的大小来确定， 振荡频率由G( j?)曲线的自变量?来确定。 0 1 r(t)=0 c(t) * * 第七章 非线性系统