高等数学复习题型举例.ppt

一、间断点类型判断 3. 确定函数 间断点的类型. 二、反函数求导 说明: 注意: 若瑕点 例1. 计算反常积分 例2. 计算反常积分 例3. 证明反常积分 练习. 下列方程具有什么形式的特解 3. 无穷小 例1. 求下列极限： 令 练习. 证明: 例2. 确定常数 a , b , 使 例3. 当 例4. 求 例5. 求 例1. 求 例2. 求 说明: 又如, 3. 若 4. 若 例1. 用定积分表示下列极限: 例2. 求 练习: 1. 2. 极坐标情形 例1. 计算抛物线 例2. 求抛物线 例3. 求双纽线 例1. 设 例2.设由方程 特别: 例1. 求函数 例2. 求函数 例2. 求函数 例3. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 例4. 证明: 例5. 讨论方程 3. 分部积分法 多次分部积分的 规 律 几种特殊类型的积分 2. 需要注意的问题 例1. 求 例2. 求 例3. 求 说明: 例1. 设 例2. 求 例3. 例4. 设 例1. 定理 (极值存在的必要条件) 定理 1 (极值第一判别法) 定理2 (极值第二判别法) 定理3 (判别法的推广) 例如 , 例2中 例1. 求函数 例2. 求函数 例4. 设 例5. 设 曲线的凹凸与拐点 定理.(凹凸判定法) 例1. 判断曲线 例2. 求曲线 例3. 填空题 (2) 设函数 例1. 求 例3. 例5. 注意 f (0) = 0, 得 例6. 求多项式 f (x) 使它满足方程 例7. 证明恒等式 例1. 证明方程 例2. 设 例3. 证明方程 例4．设函数 在 上连续，且 。判断方程 在 内有几个实根？并证明你的结论。 解： ， 在 上连 续， ，所以 在 内有一个零点。又 ， 在 上是单调递增的，所以 在 内有唯一零点，即 在 内有唯一实根。 特别 , 当考虑连续曲线段 说明: 例1. 计算由椭圆 方法2 利用椭圆参数方程 例2. 计算摆线 绕 y 轴旋转而成的体积为 注 例3. 设 例4. 设非负函数 又 例5. 证明曲边扇形 例6. 求由 例1. 求 例2. 求 例3. 设 例4. 设 例5. 求 . 在区间 上是凸弧 ; 拐点为 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 的图形如图所示, 变限积分求导: 16、变限函数求导、函数根的存在性及唯一性讨论 解: 原式 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使 解: 原式 = c ≠0 , 故 又由 ～ , 得 证明 在 内为单调递增函数 . 证: 只要证 例4. 解： 且由方程 确定 y 是 x 的函数 , 求 方程两端对 x 求导, 得 令 x = 1, 得 再对 y 求导, 得 故 求可微函数 f (x) 使满足 解: 等式两边对 x 求导, 得 不妨设 f (x)≠0, 则 解: 令 则 代入原方程得 两边求导: 可见 f (x) 应为二次多项式 , 设 代入① 式比较同次幂系数 , 得 故 ① 再求导: 证: 令 则 因此 又 故所证等式成立 . 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设 且在 内可导, 证明至少存 在一点 使 提示: 由结论可知, 只需证 即 验证 在 上满足罗尔定理条件. 设 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 说明: 内必有方程的根 ; 取 的中点 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根. 二分法 在区间 内至少有 则 则 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的