第二章 数值分析1.ppt

紧凑格式（道立特分解法） 紧凑格式的计算顺序 紧凑格式求解方程组 平方根法 平方根法的计算顺序 平方根法的稳定性 三对角线性方程组的追赶法 数值分析 太原科技大学 紧凑格式是指利用已知数和前面已经求出的数来表示要求的数，计算时不必记录中间结果，格式较为紧凑 根据矩阵乘法定义，通过比较法直接导出L 和 U 的计算公式。 思路 →① →③ →⑤ ↓② ↓④ ↓⑥ 都可以表示成lu的形式 方法1：用紧凑格式直接求出L和U后，根据Ly=b,先求出y，然后根据Ux=y求出x 方法2：由于L-1[A,b]=L-1[LU,b]=[U,L-1b], 即用紧凑格式分解A时，对增广矩阵[A,b]施行相同的变换（计算y的方法和计算U的最后一列的方法一致 ），变换后的最后一列为向量y，然后根据Ux=y求出x。 第一步 第二步 第三步 第一步 第二步 ?回顾：对称正定阵的几个重要性质 ? 引理1：正定矩阵是非奇异的 ? 引理2：任一正定矩阵的主子式矩阵也是正定矩阵 定义 设A 是一个n阶对称方阵，如果 对任何n维实向量x≠0，都有 xTAx0 ,则称A是正定矩阵 定理3.2 如果A是n阶正定矩阵，则A可唯一分解为： A＝LDLT 其中，L为单位下三角矩阵，D为主对角线dii 都是正数的对角矩阵 证明：因为A是正定矩阵，由引理2，它的各阶主子式矩阵也是正定对称的，由此可知，它的各阶主子式矩阵非奇异，根据定理3.1，存在一个唯一的单位下三角矩阵L和上三角矩阵U，使得：A＝LU 因为uii≠0(i=1,2,…n),令 于是 A＝LDU1 因为A是对称方阵，则 A＝AT=(LDU1)T=U1TDTLT=U1T(DLT) 由A的LU分解的唯一性知：L=U1T 从而有： A=LDLT 定理3.3 设A为对称正定矩阵 ，则存在唯一的对角元素为正数的下三角阵L，使 A= L LT 证明：因为A是正定对称矩阵，定理3.2成立。因此D的对角线dii都是正数。用D1/2表示主对角线元素是正实数 的对角方阵，则可得： 其中，L1是单位下三角矩阵，令L=L1D1/2，则L是下三角矩阵，且主对角线元素都是正数 分解式A＝LLT称为正定矩阵的乔列斯基（Cholesky)分解。 应用正定矩阵A的LLT分解来求解线性方程组的方法，称为平方根法 ↓① ↓② 以n=4为例求解乔列斯基中的L 这表明，平方根法所求得的中间量ljk的数量级完全得到控制，因而计算过程是稳定的。 数值分析 太原科技大学