2.4 差分方程的相容性、收敛性和稳定性.ppt

差分方程相容性是讨论当 时，差分方程逼近于微分方程的程度，因此，相容性是讨论差分方程和微分方程的关系。 定义：对于一足够光滑函数 ，若时间步长 ，空间步长 趋近于0时，差分方程截断误差 对于每一点 都趋近于0，则该差分方程 逼近微分方程 ，即差分方程与微分方程是相容的。 差分方程相容性可以通过Taylor展开方法来证明。例如，扩散方程的FTCS差分格式为： 把 作为t的函数，在 邻域展开成Taylor级数，把 和 作为x的函数，在 邻域展开成Taylor级数： 当 时，上等式右侧所有项都趋近0，差分方程趋近于原微分方程，即FTCS差分方程和原方程是相容的。 关于差分方程相容性需要作以下说明： 相容性是对求解区域内任意一点差分方程逼近于微分方程的程度，相容性是有限差分算法（包括有限体积算法）首先必须满足的有效性条件。 相容性要求对于求解区域内任意点 ，在 同时趋近于0，截断误差 趋近于0。如果 不是同时趋近于0或并不趋近于0，而是趋近于某值，或结论并不是对每个点 都成立，则差分方程就不满足相容性条件，差分方程也就不逼近于微分方程。 相容性条件不仅要求差分方程截断误差 趋近于0，而且要求差分方程定解条件截断误差 也同时趋近于0。 差分格式有两种不同形式的相容性，即无条件相容和有条件相容。 我们已经讨论了差分方程稳定性和收敛性。稳定性是反映差分方程在时间进程上的特性，收敛性是反映差分方程空间位置上的特性，它们都体现了差分方程内在性质，都是十分重要的基本概念。那么，差分方程收敛性和稳定性之间存在什么关系呢？Lax定理给出了这个问题的答案。 Lax定理：对于适定和线性的初值问题微分方程，若逼近它的差分方程和它是相容的，则差分方程稳定性是差分方程收敛性的充分和必要条件。 Lax定理可以形象地表示为： 计算实践表明，差分方程相容性是比较容易证明的，证明差分方程稳定性也是有不少方法，而差分方程收敛性证明一般是比较麻烦的。Lax定理告诉我们只要证明了差分方程稳定性，则该差分方程一定是收敛的，因此，我们可以利用Lax定理通过证明差分方程稳定性来证明差分方程收敛性。 计 算 力 学 基 础 第二章 有限差分方法 2.4 差分方程的相容性、收敛性和稳定性 一个微分方程采用不同的方法可以得到不同的差分方程。那么，我们要问，对于这些不同的差分方程是否都同样有效，同样可靠，而且能得到同样的计算结果呢？ 答案是否定的。事实上，不同的差分方程和原方程有完全不同的对应关系，它们具有各自不同的性质，因此，数值结果也完全不同。在这些差分方程中有些差分方程是有效的、可靠的；些差分方程只有在一定的条件下是有效的、可靠的；有些差分方程则是完全无效的、不可靠的。所以，如何判断和分析差分方程有效性和可靠性就成为非常必要和现实的问题了。 在这一节中我们首先对差分方程有效性的一些基本概念（如相容性、收敛性、稳定性）作简单介绍，为本章以后各节的分析讨论奠定基础。 2.4.1 相容性（Consistency ） 将 代入FTCS格式中，即可得到： 、 和 2.4.2 收敛性（Convergence ） 差分方程收敛性是讨论当 时，差分方程的解和微分 方程的解是否一致性的问题，也就是讨论差分方程的解和微分方程的解的逼近程度。 定义1：差分方程　　　　的数值解为　　，微分方程的精确解为　　，它们之间的误差用　　表示，则　　　　　　　称为离散化误差。 定义2：节点　　　为微分方程求解区域　　内任意一点，当当　　　　　　　　时，差分方程数值解　　趋近于微分方程精确解　　，即　　　　　　　，则差分方程收敛于微分方程。 差分方程收敛性有两种证明方法，直接证明法和数值试验法。 一、直接证明法 对流方程 的FTBS差分格式为： (a) 设求解区域内任意一点 ， ，它的微分方程精确解为u，差分方程解为 ，则离散化误差为 ，把差分方程和微分方程相减可得离散化误差方程： (b) 由（b）式可以看出离散化误差方程在形式上和差分方程是完全相同的，由此可以得到： 设a≥0， ≤1，则0≤ ≤1，于是有：