空间向量在立体几何中的应用-立体几何.ppt

（2）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C—xyz. 则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）. 设P（0，0，t）， ∵|PB|=|AB|=2 ，∴t=2，P（0，0，2） 取AP中点E，连接BE，CE. ∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|， ∴CE⊥AP，BE⊥AP. ∴∠BEC是二面角B—AP—C的平面角. ∵E（0，1，1），EC=(0,-1,-1),EB=(2,-1,-1), ∴cos∠BEC= . ∴二面角B—AP—C的余弦值为 . 返回目录 （3）∵AC=BC=PC，∴C在平面APB内的射影为正△APB的中心H，且CH的长即为点C到平面APB的距离. 如（2）中建立的空间直角坐标系C-xyz. ∵BH=2HE，∴点H的坐标为（ , , ）. ∴|CH|= . ∴点C到平面APB的距离为 . 返回目录 考点五 向量的综合应用 如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD= ,点F是PB的中点,点E在边BC上移动. (1)点E为BC的中点时,试判断 EF与平面PAC的位置关系,并说明理由; (2)求证:无论点E在BC边的何处, 都有PE⊥AF; (3)当BE为何值时,PA与平面PDE 所成角的大小为45°. 返回目录 【分析】 (1)由EF是△PBC的中位线可得EF∥PC,从而可解答第(1)问. (2)可证AF与PE所在的平面垂直来证明第(2)问.也可转化为证明AF·PE=0. (3)设出BE的长度,表示出平面PDE的法向量,从而利用求线面角的公式求出BE的长度. 返回目录 【解析】 (1)证明:当点E为BC的中点时,EF与平面PAC平行. ∵在△PBC中,E,F分别为BC,PB的中点, ∴EF∥PC. 又EF平面PAC,而PC平面PAC, ∴EF∥平面PAC. (2)证明:以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 P(0,0,1),B(0,1,0),F（0, ， ）,D( ,0,0). 设BE=x,则E(x,1,0), ∴PE·AF=(x,1,-1)·（0, , ）=0. ∴PE⊥AF. 返回目录 (3)设平面PDE的法向量为m=(p,q,1), m·PD=0 m·PE=0, 而AP=(0,0,1),依题意PA与平面PDE所成角为45°, ∴sin45°= 得BE=x= 或BE=x= (舍). 故BE= 时,PA与平面PDE所成角为45°. 返回目录 得m=（ ,1- ,1）. 由 【评析】(1)开放性问题是近几年高考的一种常见题型.一般来说,这种题型依据题目特点,充分利用条件不难求解. (2)对于探索性问题,一般先假设存在,设出空间点坐标,转化为代数方程是否有解问题,若有解且满足题意则存在,若有解但不满足题意或无解则不存在. 返回目录 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点. （1）求直线BE与A1C所成角的余弦值； （2）在线段AA1上是否存在点F，使CF 平面B1DF？ 若不存在，求出︱AF ︱ ，若不存在，请说明理由. ＊对应演练＊ 返回目录 （1）以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AC=2a，∠ABC=90°,所以AB=BC= a，所以B（0，0，0），C（0， a，0），A（ a，0，0），A1（ a，0，3a），C1（0， a，3a），B1（0，0，3a）， 所以D（ a, a,3a）,E（0, a， a）， 所以CA1=（ a，- a，3a）， BE=（0， a， a）， 所以|CA1|= a，|BE|= a， CA1·BE= a2，所以cosCA1,BE= 即直线BE与A1C所成角的余弦值为 . 返回目录 (2)假设存在点F,使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥B1F且CF⊥B1D即可. 设AF=b,则F( a,0,b),CF=( a