第6章 不动点理论及应用.ppt

第6章 不动点理论及应用 §6.1 问题的提出及不动点 §6.2 不动点定理 §6.3 不动点定理的应用 ， ， 1. 问题的提出: 在工程和科学技术中的许多问题常常归结为解各种函数方程，如：代数方程、微分方程、积分方程、线性方程组、泛函方程等。这些方程各自都有相应的解法，但有些解法对某些方程来说效果不好、计算复杂、计算量大、解决困难等。这就需要我们寻找合适的求解方法。 实际上，对于上述各种方程的求解问题，都可统一为求解相应的算子方程的不动点问题，并在此基础上建立了迭代方法。 转化方法：方程 令算子 则求解方程求算子方程的解（称为不动点） ③ ,旋转变换，则的不动点为坐标原点(0, 0)。 ④ , 平移变换，则没有不动点。 1.压缩算子: 设（1）距离空间； （2）算子的映射。 若，恒有 则称T是上的压缩算子。为压缩系数。 例： ，则 ① 是压缩算子 因为 ② 是压缩算子（ ） ③ 不是压缩算子（ ） 求不动点的方法——迭代法 取初始点，构造迭代序列：，即 ， 若序列收敛，则极限点为的不动点。 这种用逐次代入构造近似解的方法称为迭代法。不同的算子方程，得到不同的迭代法。 2. 不动点的定义 设（1）——距离空间； （2）算子的映射。 若，则称为算子的不动点。 性质：压缩算子T是连续的 证 若，即，则 求解算子方程，需要解决三个问题： 1、不动点的存在性、唯一性； 2、求不动点（即求近似解）的方法； 3、误差分析。 例如：求方程在区间（0,2）内的近似根； 求解线性方程组 如： 令，则求解求解的不动点。 例：① , ，则的不动点为的解1，0。 2.不动点定理 设（1） 是完备的距离空间； （2）的压缩算子。 则在上存在唯一的不动点，即 证 先证存在性，再证唯一性 存在性： 唯一性： 关于不动点定理的几个注 （1）定理的证明过程就是求不动点的方法，称为构造性的证明。 （2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。 （3）迭代的收敛性和极限点与算子有关，而与初始点无关。但初始点的选取对迭代速度有影响。初始点离极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。 （4）误差估计 事前（或先验）误差：根据预先给出的精确度，确定计算步数。此方法有时理论上分析困难。 设迭代到第n步，将，则误差估计式为 证 第6章 不动点理论及应用 第1页 共1页 1 ② ，则的不动点为轴上的所有点 求解不动点的具体步骤： Step1 提供迭代初始点； Step2 计算迭代点； Step3 控制步数，检查，若。则以替换转到第二步，继续迭代，当时终止，取为所求结果。误差不超过 对于不动点理论，为了便于应用，下面给出两种不同条件下所适合的方法。 第6章 不动点理论及应用 第1页 共1页 1 推论1 设（1）——完备的距离空间； （2）的算子。 （3）在闭球上是压缩算子，并且 则在中存在唯一的不动点 证明思路：只要证明在上满足不动点定理的两个条件即可 证： 第6章 不动点理论及应用 第1页 共1页 1 推论2 设（1）——完备的距离空间； （2）的算子。 （3）存在及正整数n，使，都有 则在中存在唯一的不动点。 定理的意义在于：如果不能直接得到是压缩算子，可以研究是否为压缩算子，从而得到有唯一不动点。 证 第6章 不动点理论及应用 第1页 共1页 1 不动点定理建立在距离空间基础上的，而距离空间是一个比较广泛的抽象空间，所以不动点定理有着广泛的应用。 应用不动点定理解决实际问题的步骤： （1）寻找压缩算子，将问题转化为求的不动点； （2）构造迭代序列，取极限点； （3）误差分析； （4）通过实际问题进行验证。 第6章 不动点理论及应用 第1页 共1页 1 事后（或后验）误差：计算到第n步后，估计相邻两次迭代结果的偏差，若该值小于预定的精度要求，则取。此方法简单，但有时无法估计计算步数。 第6章 不动点理论及应用 第1页 共1页 1 设迭代到第n步，将，则误差估计式为 或 证 第6章 不动点理论及应用 第1页 共1页 1 1.在线性代数中的应用（本章不讲，在第九章中介绍） 例如 则迭代格式 2.不动点定理在常微分方程中的应用 科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问题