厦门大学景润杯数学竞赛复习材料.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 对乘除运算求极限，利用等价无穷小代换简便而有效，但对加减运算下的无穷小代换则需特别注意。下面定理给出了加减运算求极限时可以进行等价代换的条件。 4、加减运算下的等价代换 命题 设?(x),?1(x),?(x),?1(x)均为x?x0时的无 穷小，且?(x)??1(x),?(x)??1(x)， 证明：当x?x0时，?(x)+?(x)??1(x)+?1(x)。 且不等于-1， 命题证明:只需证 注意到 由等价关系(5) 1、 计算 举一反三练习 提示： Talor公式是用多项式逼近函数的一种有效工具，具有广泛的应用。带有Peano余项的Talor公式常被应用在求极限的过程中。 5、利用Taylor公式求极限 公式成立的条件是： 存在即可，不需要n+1阶导数的存在。 例12 设f(x)在x=0处二阶可导，且 （洛比达法则） 1、 求 举一反三练习 和 求 处可导,且 2、设 在 6、利用夹逼定理求极限 例14 例15 证 由夹逼定理即得 Stolz定理 则 下面介绍的Stolz定理被誉为数列极限的洛比达法则 它为求离散型 的未定型极限问题带来很大的方便。 7、利用Stolz公式求极限 证： 例16 例17 1、 举一反三练习 2、 * * * * * * * * * * Xiamen University 厦门大学第十届“景润杯”数学竞赛暨第五届全国大学生数学竞赛系列讲座 厦门大学数学科学学院 林建华 第一讲  极限的理论与方法 极限的思想是近代数学的一种重要思想方法， 极限理论是高等数学的重要基础，它贯穿于整个 高等数学的始终。 如果要问：“高等数学是一门什么学科？”，那么 可以概括地说：“高等数学就是用极限思想来研究函 数，研究自然科学的一门学科”。 极限的思想方法是微积分的基本思想，也是高 等数学与初等数学的本质区别所在。高等数学之所 以能解决许多初等数学无法解决的问题，例如瞬时 速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题 正是由于采用了极限的思想方法。 高等数学中的一系列重要概念，如函数的连续 性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的 因此掌握求极限的方法是理解极限思想的重要的基 础训练步骤之一。 求极限的方法是多种多样的，有的还需要较高 的技巧，因此要较好地掌握极限的方法，需要我们 在平时的学习中不断地总结、归纳、类比、记忆。 更为重要的是还要善于把所学过的知识串起来，并 加于灵活运用。 下面我们将讨论几类重要的求极限方法，它是 我们所学过求极限方法的深化拓广和提高，也是综 合利用导数、微分中值定理、定积分等知识解决极 限问题的重要方法。 1、 用导数定义求极限 导数是用极限来定义的，现在反其道而行之， 利用导数定义来计算某些数列和函数的极限。 如下是我们所熟知的导数定义的一种变形 例1 计算 解 例2 设 解 在 点可导， 计算 例3 设 解 计算 1、计算 分析： K为自然数。 举一反三练习 2、 设f(x)在x0处二阶可导 分析： 可以利用洛必达法则，但根据 题设条件只能用一次，然后再利用导数的定义。 2、用拉格朗日中值定理求极限 如下是拉格朗日中值定理应用的一种变形 例4 计算 例5 计算 间。 间。 1、 计算 分析 举一反三练习 2、计算 思考：可否利用柯西中值定理。 3、用等价无穷小代换求极限 先利用拉格朗日中值定理给出下述一般命题： 设下列两个条件满足 (1) ?(x),?(x)是连续函数,且 (2) f(x)在x=c的一个邻域内可导且 在x=c处连 续，且 则 证：由拉格朗日定理和题设条件 于是 即 由此命题，可得到如下的等价代换式子。它给求极限带来很大方便。 容易知道，把 x? x0 换成 x?? 时，相应条件还 满足，则上述结论仍然成立。 此命题的特点是：相减的两项的外层的函数必须是相同的，里面复合的自变量函数?(x)，?(x)可以是不一样。 x在某种趋近方式下，且 ?(x)??(x) 解：利用等价关系式子 解：利用等价关系式子 解：利用等价关系式子 1、 计算 举一反三练习 提示： 2、设 提示： 附近有连续的一阶导数，且 在 存在,求 Xiamen University * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *