13年力学竞赛辅导理论力学3.ppt

* O 例17. 小虫从半径为r 的半球形的碗底往上爬. 设虫与碗间的滑动摩擦系数为 求: 小虫爬到的最大的高度h = ? h ? 解: 由滑动摩擦系数可知摩擦角为 小虫爬到的最大高度h 时, 恰能自锁. 30o 60o * y 1 2 例18. 三个均质的正方形物块放在45o倾角的斜面上, 物块各重为Q , 各处接触面的摩擦角均为 ? . 求: 提起下面一正方形所需的最小力P = ?( 华中理工大92年试题) 解: 此题求的是临界平衡问题 取2 块分析 1 3 2 45o 45o 45o- ? ? ? x 取1 块分析 45o- ? 45o- ? 也可以将F1 , F2 正交分解为切向力和法向力, 基本思路一样, 但计算过程要麻烦得多. * A 例19. 圆柱体A 与长方块B 均重100N , 置于倾角为30o 的斜面上. 若所有接触处的摩擦角都是35o . 求: 保持系统平衡所需的最小力P = ? A B 30o 解: 设B 块向下滑动, 圆柱体A沿斜面滚动 取圆柱体分析 ? O′ 30o D 由三力平衡汇交可判别: 圆柱与斜面间未达最大静摩擦力. 取长方块B 分析 ? B 30o x y * 例21 . 轴AB与铅垂线成? 角, 悬臂CD 固定于轴上并与之垂直. 悬臂CD长为a, 并与铅垂面ZAB成? 角. 如图在D 点上作用一铅垂向下的力P, 求 解: 将P 力正交分解, 其中, P1// AB, P2//EK . 显然, 沿B?A方向看下去如下图所示. * 例22. 图示细直杆AB, 重为P. 其一端A靠在光滑的铅直墙上, 同时又被一光滑棱支承于图示位置( OA与墙面垂直, OC?AB, 且它们同时与重力P的作用线交于O点). 则此杆是否处于 “ 稳定平衡”. ( 第二届题) 系统或系统中的质点若被微小干扰后只是在平衡位置附近运动而不会产生很大的偏离, 且最终可恢复原状,此种平衡状态是稳定平衡, 否则便是不稳定平衡. 此题应是不稳定平衡. 判断平衡是否稳定的标准式是 势能函数对其坐标的二阶导数 杆AB重P，长为2l ，下端靠在铅直的墙上，同时又被支承在光滑的点C，求杆平衡时的角度，并讨论平衡的稳定性。 解： 光滑面接触——理想约束 系统中仅有重力作功——保守系统，可用系统的势能决定其平衡位置及平衡的稳定性。 系统的势能： 单自由度，取 为广义坐标 重力势能的零点取为点C A B C a y x P D 系统平衡时，势能满足： A B C a y x P D 系统平衡时，势能满足： 又： 为不稳定平衡！ 注意：势能的零点应取在固定点处,若取在A点,则势能零点不定。 * 例23. 半径为r, 重为W的均质圆柱体置于半径为R的圆槽底部, 接触面间的摩擦系数为?. 在圆柱体边缘缠绕一不计重量的柔索, 其端部悬挂重为P的物块, 则平衡时圆柱体的中心可以升高, OC连线的最大偏角? 可达 ( ) . ( 第三届题) 解: 当接触面处的静滑动摩擦力达到临界值时, ? 角可达最大. 取圆柱体为研究对象, 即是 注: 系统的平衡时, W与P的大小与?角有关, 而?角的大小取决于?. 由临界平衡可得 * 例24. 均质矩形块置于粗糙的地板上, 摩擦系数为? , 初始静止. 为使矩形块在水平力P的作用下沿地板滑动而不倾倒, 作用点不能太高, 即h 应比较小. 试问hmin = ? ( 第三届题) 解: 此题的发散性思维较强. 由题意, P力不应是由零逐渐增大后而使物块恰能开始滑动的力( 所谓 “临界力”). 倘若如此, 则滑动而不倾倒的条件的界定应是hmax . 我们可试算一下: 若滑动, 若倾倒(绕A点), 由此可得知: 只要 则不会倾倒. 因而有 至于hmin 可允许为零. 即hmin = 0 . * 若P W?, 则在其作用下物块有一加速度a . 在图示的运动及受力状态下, 有hmin . 由图中可知, 由上式可知hmin 的值与P的大小有关. 令上式中hmin = 0 若hmin 0 综合分析， 可得如下的结果 则 * 当 在 物块在滑动中向左倒的趋向逐渐加大. 注: 条件下, 当 * 例25 小球重W2 半径为r, 大球重W1 半径为R. 设球与地面间、大球与小球间的摩擦系数均为f , 现加一水平力P . 试问摩擦系数至少为多少,才能在足够大的P力作用下保证大球从小球上翻过。（不计滚动摩阻） 解：临界平衡时，B 处的反力为零。 各摩擦面处力的方向与法向所夹角 等于摩擦角. ( 如图示) 由题意 可满足条件. * * 运动学篇 引言 运动学主要是确定或求解点和刚体运动时的位置、速度、角速度、加速度、角加速度. 有