热力学统计物理课后作业讲稿ppt.ppt

证明任何一种具有两个独立参量T，p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数a及等温压缩系数kT，根据下述积分求得： 1.8 满足pVn=C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证，理想气体在多方过程中的热容量Cn为 1.12 设理想气体的Cp和CV之比g是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系。这个关系式中要用到一个函数F(T)，其表达式为 1.14 根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交 物体的初温T1高于热源的温度T2。有一热机在此物体与热源之间工作，直到将物体的温度降低到T2为止。若热机从物体吸取的热量为Q，试根据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为其中S1-S2是物体的熵减少量。 1.23 简单系统有两个独立参量，如果以T，S为独立参量，可以纵坐标表示温度T，横坐标表示熵S，构成T-S图。图中的一点与系统的一个平衡态、一条曲线与一个可逆过程相应。试在图中画出可逆卡诺循环过程的曲线，并利用T-S图求卡诺循环的效率。 2.5 试证明一个均匀物体在准静态等压过程中的熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减。 7.16 已知粒子遵从经典波尔兹曼分布，其能量表达式为 8.8 证明: (1) 根据普朗克公式，可知平衡辐射内能按圆频率的分布： 则，使u(l,T)取极大值的波长lm由下式确定： 8.14 求绝对零度下金属自由电子气体中电子的平均速率 解：根据绝对零度下金属自由电子气体的性质，可知T=0K时一个量子态上的平均电子数： 则，电子的平均动量为： 8.18 求极端相对论条件下自由电子气体在0K时的费米能量、内能和简并压。 解：已知极端相对论条件下的能量动量关系：e=cp * 1.1 试求理想气体的体胀系数a，压力系数b和等温压缩系数kT。 解：由理想气体的状态方程pV=nRT和a，b和kT的定义式可得： (1) (2) (3) ， 如果 ，试求物态方程。 解：用反证法来证明。两条绝热线交于一点C，一条等温线T与两条绝热线分别交于A和B两点（这样的等温线总能找到，因为等温线的斜率总是比绝热线的斜率小）。把A→B→C→A认为是可逆循环，在循环中，仅在等温过程中系统吸收热量Q，系统对外作功的量值等于面积ABC。因此在循环过程中，系统从单一热源吸收热量完全转化为有用的功而不引起其他变化，这违背了热二定律的开氏表述。因而，两条绝热线不能相交。此外还有很多种证明的方法。 p V A B C 1.15 热机在循环中与多个热源交换热量。在热机从其中吸收热量的热源中，热源的最高温度为T1，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为T2.试根据克氏不等式证明，热机的效率不超过 解：分析，在T-S图上，可逆等温过程是平行于横纵的曲线，而可逆绝热过程由于熵不变，因此是平行于纵轴的曲线。T-S图上的卡诺循环曲线为 S T T1 T2 1 2 3 4 2.3 求证：(a) ; (b) 2.4 已知 ，求证 ① ② ， 2.8 证明 并由此导出 根据上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容量只是温度T的函数。 2.12 一弹簧在恒温下的恢复力X与伸长x成正比，即X=-Ax，比例系数A是温度的函数。今忽略弹簧的热膨胀，试证明弹簧的自由能F，熵S和内能U的表达式分别是： ① ② ③ - 其中，a, b是常量，求粒子的平均能量。 将能量表达式进行配方， 共含4个平方项 由能量均分定理得， ① 再根据 可得， ② ③ ②③代入①，可得 平衡辐射内能密度按波长的分布： ④ (2) 令 ，④式变为： ⑤ 由于上式数值解为x=4.9651, 则，代入 ，有 ⑥ 解得， ⑦ 考虑到 ，可将上式改为用动量表示的形式： 其中p(0)为费米动量，是0K下电子具有的最大动量。且p(0)2=2me 由于在体积V内，T=0K，能量在p~p+dp内的量子态数为： 因此，电子的平均速率为： 由于在体积V内，e~e+de的能量范围内的量子态数： (此处考虑的电子自旋的影响) 绝对零度下金属自由电子气体一个量子态上的平均电子数： 解得，费米能量： * * *