数学物理方程反问题讲稿2014.ppt

 反问题模型 麦宏晏 什么是反问题 耳朵能“听出”鼓的形状吗？ 仅仅通过鼓的声音能否判断出鼓的形状？问题最早由丹 麦著名物理学家Lorentz在1910年的一次讲演中提出，它的 背景来自于射线理论。 一个物体的音色可以由一串谱 来确定，它们在 物理上对应着物体的固有频率。“盲人听鼓”即是要求通过已 知的谱来确定一个鼓面的形状。经过数学家们的演算给出了 否定的答案。但是，从鼓声中我们确实能得到相当多的形状 信息：我们能够“听”出鼓的面积有多大、周边有多长甚至鼓 的内部是否有洞、有几个洞。 个定向设计问题，它要求数学家利用推导和计算手段构造出所 需要的曲面（光栅）形状。 定向设计的应用相当广泛。比如说：一个城市的某条街道 车流量很大，不堪负荷，怎样通过铺设新的路段来进行分流？ 在军事行动中如何对不同种类的炮火进行分布以达到特定的轰 炸效果？这类问题往往涉及各种事物的组合、分配布局，要求 在各种相互制约、相互影响的因素中寻找出最佳方案，为领导 的决策提供依据。 极低（只能探测到井附近的局部信息）。一个可行的办法是通 过地面爆炸向地下发射地震波，同时接收地层的反射波信号。 可以想象，地面接收到的反射信号中含有地下的物性结构信息 （地层的密度、声速等等），利用数学手段将这些信息提取出 来，就可以对地下的油储及其分布作出科学的判断。 类似的探测方法可以应用于许多方面，如：农用土壤分析 、地下水勘查，甚至于在考古发现上也有应用。位于三峡库区 的四川省云阳县故陵镇有一个大土包，相传为楚国古墓，但是 历经三千余年的变迁，已经难以确认了。科技工作者在地表利 用地震波法、高精度磁法、电场岩性探测和地化方法四种手段 进行探测，不但确认了古墓的存在，而且得到了关于古墓的埋 藏深度、形状、大小甚至墓道的准确信息，为抢救和保护文物 作出了贡献。 成像的另一个重要应用是医学上的计算机层析成像（CT），这是 X光射线自Roentgen发明（获1900年诺贝尔奖）以来在医疗诊断上 的重大进展，其发明人Hounsfield和Cormack因此获得了1979年的 诺贝尔医学奖。CT技术是医学、电子技术、计算机技术和反演数学 相结合的产物，它利用计算机来对穿越人体的X射线信号进行处理， 来重建体内的结构信息，生成透视图象供医疗诊断参考，其核心算 法的数学基础是二维Radon变换。继之而起的是基于三维Radon变 换的核磁共振成像，在诊断效果和无伤害性方面更为优越。事实上 ，类似的方法也可以借助于声波、光波、电磁波在无损探伤、雷达 侦察、射电望远镜探测、环境监测等多方面有广泛应用。 反问题的研究起源于数理方程，反问题的研究也促进了人们 对世界的识。一个著名的例子是反散射方法在孤立子发现中的作 用：反散射问题是量子物理学研究中的一个问题，通过谱和谱函 数在无穷远处的散射性态反推一维Schordinger方程的位势数。 它由前苏联数学家Gelfand和Levitan（1955年）一举解决。在 此基础上引发了一系列突破性进展，最为著名的是利用这个结果 Lax（1968年）得到了关于KDV方程的巧妙解法，从而发现了 非线性方程中的孤立子现象。这是近代非线性科学研究的重要事 件。 具体实例 例1 金融学中的一个简单计息反问题 在通常利率的连续复利率模型中，投资变化的百分率是 一个给定的常利率，用微分方程表示为 其中 是 时刻投资价值，由此导出价值的指数增长模型 在变化利率模型中，利率与时间有关，即 ，于是有 ，给定与时间有关的利率和初值 ，求价值记 录 的问题称为正问题；另一方面，由价值记录求变化率的 问题称为反问题。注意这里正问题的求解是积分运算，这是 一个稳定的过程，而反问题的求解需要微分运算，是不稳定 的。我们通常感兴趣的是反问题，如果已知价值记录的解析 表达式，求 是一个简单的微分运算，对时间进行离散 ，用差商代替导数，则用 来近似 ，其中 。 直接从原始模型出发可以建立求反问题近似解的另一种 例2 热传导问题 与外界存在热交换的物体表面温度不能及时达到热平衡， 如果物体比外界热，热量从物体往外流出从而使物体冷却， 这一现象最简单的模型是牛顿冷却定律，即表面温度的变化 与物体表面和外界温度之差