大学文科数学第三章导数与微分剖析.doc

章 节 第三章 变量变化速度与局部改变量的估值问题-----导数与微分 课 时 6 教 学 目 的 1.使学生准确掌握导数与微分的概念.明确其物理、几何意义， 2.熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的导数、微分运算； 教 学 重 点 及 突 出 方 法 1.教学重点是导数与微分的概念及其计算 2.解决方法为在几何意义的基础上理解函数导数的定义，熟记公式 教 学 难 点 及 突 破 方 法 1.教学难点是求复合函数的导数 2.突破方法是让学生首先记住什么是基本初等函数，然后将复合函数拆成基本初等函数 相 关 内 容 素 材 教 学 过 程 第一节 函数的局部变化率--------导数 文艺复兴的火炬驱散了欧洲中世纪的漫漫黑暗，15世纪之后的欧洲，资本主义逐渐，出现的大量实际问题，给数学提出了前所未有的亟待解决的新课题，其中三类问题导致了微分学的产生： （1）求变速运动的瞬时速度 （2）求曲线上一点的切线 （3）求极大值和极小值 1.1 抽象导数概念的两个现实原型 原型I 求变速直线运动的速度 设一质点从点开始做变速直线运动，经过秒到达点，求该质点在时刻的瞬时速度. 以为原点，沿质点运动的方向建立数轴----轴，用表示质点的运动的路程，显然路程是时间的函数，记作，现求 时刻的瞬时速度. 如果质点做匀速直线运动，那么按照公式 ，便可以求出，但是现在要求质点做变速直线运动的速度，则在整个时间间隔内不能应用上边的公式求时刻的速度，下面我们分三步来解决这一问题. (1)给一个增量，时间从变到，质点从点运动到点，路程有了增量 (2)当很小时，速度来不及有较大的变化，可以把质点在间隔内的运动看似匀速运动，这实质上是把变速运动近似的转化为匀速运动，下面求 内的平均速度 (3)当越来越小，平均速度就越来越接近于时刻的瞬时速度，即 教 学 过 程 第一节 函数的局部变化率--------导数 原型II 求曲线切线的斜率 在初等数学中，我们知道曲线上的两点和的连线为曲线的割线，当点沿着曲线无限的趋近于时，其极限位置就是曲线在点处的切线，如何求曲线在处的切线的斜率呢？我们分三步来解决：(1)求增量 给一个增量，自变量由变到，曲线上纵坐标的相应增量为=. (2)求增量比 曲线上的点从变到时，当很小时，此时曲线上的纵坐标来不及有很大的变化，这时候割线的斜率近似的等于切线的斜率，此时割线的斜率为 (3)取极限 当时，点沿着曲线无限的接近，割线的斜率的极限就是切线的斜率，即 ,其中，是切线与轴正向之间的夹角. 1.2 导数概念 定义 设函数在点的某邻域内有定义，当自变量有一个增量时，相应函数值的增量为=，若极限存在，则称函数在点可导，并称该极限为函数 教 学 过 程 第一节 函数的局部变化率--------导数 在点处的导数，记为 ，，，?等. 若上述极限不存在，则称在点不可导. 导数是函数增量与自变量增量之比的极限，这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率，而导数=是函数在点处的变化速度，称为函数在点处的瞬时变化率. 导数的力学意义就是变速直线运动物体的瞬时速度 导数的几何意义就是曲线的切线斜率 例1 求函数在点处的导数 解：给一个增量， 如果函数在区间内每一点都可导，则称为区间上的可导函数。此时对每一个，都有的一个导数与之对应，记作 ，，，?等. 即? ? ? 这就是说：函数在点的导数是曲线在点处的函数值 教 学 过 程 第一节 函数的局部变化率--导数 例2 求函数在点处的导数 解： 例3 求函数的导数 解： 综上面的例题，幂函数的导数 例4 求常数函数的导数. 解 ： (1)求增量：因为，即不论 取什么值，的值总等于 ，所以； (2)算比值：； (3)取极限：. 即常数函数的导数等于零. 例5 求函数的导数. 解 （1）求增量：， 由和差化积公式有： 教 学 过 程 第一节 函数的局部变化率---导数 （2）算比值：. （3）取极限： 即，用类似的方法，可求得 我们同样可以利用导数定义去证明对数函数， 特别地 1.5 函数的可导性与连续性之间的关系 定理2 若函数在处可导，则函数在处连续. 1.6 高阶导数的概念 函数的变化率是用它的导数来表示的，而导数也是的函数，那么函数的变化率也应该用它的导数来表示，我们把它