第四讲交错级数与任意项级数剖析.ppt

练习1 #2014022511 练习2 #2014022512 注 练习3 （A）收敛，发散 （B）发散，发散 #2014022513 （C）收敛，收敛 （D）发散，收敛 * * * * * * * * * * 注(1) 积分判别法 比值法 根值法 发散 收敛 比较法极限形式 比较法 部分和数列有界 正项级数 二 、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 . 形如 或 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件: 则级数 收敛 , 且其和 其余项满足 注意到 证: 是单调递增有界数列, 故 又 故级数收敛于S, 且 使用注意 例１. 讨论级数 的敛散性 . （A）收敛 （B）发散 #2014022501 的敛散性 . 例１. 讨论级数 #2014022502 （A）收敛 （B）发散 例2. 讨论级数 的敛散性 . Lebnitze条件是充分的不是必要的 分析 判别下列级数收敛的是: #2014022503 判别下列级数各项取绝对值后级数收敛的是: #2014022504 收敛 收敛 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散 收敛 收敛 三、绝对收敛与条件收敛 定义: 对任意项级数 若 若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 收敛 , 数 绝对收敛 ； 则称原级 数 条件收敛 . 思考： 绝对收敛 ， 级数 是级数 收敛的（ ）条件。 （A）充分 （B）必要 #2014022505 （C）充要 （D）不确定 定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: 设 根据比较审敛法 显然 收敛, 收敛 也收敛 且 收敛 , 令 例3. 讨论级数 解: 而 收敛 , 收敛 因此 绝对收敛 . 的敛散性. 例4. 讨论级数 的敛散性 . 解： 交错级数 思考： 下列命题是否正确. 对一个收敛级数的和s来说它是无穷多个数的“和”，也可以按照有限个数求和的运算规律进行，比如可以交换各项的顺序。 （A）正确 （B）不正确 #2014022506 （C）不确定 绝对收敛级数与条件收敛级数的区别. *定理8.. 绝对收敛 ，则 条件收敛，则 收敛； 发散。 *定理9. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. 其和分别为 *定理10. ( 绝对收敛级数的乘法 ) 设级数 与 都绝对收敛, 也是绝对收敛的，并且其和为 . 则这两个级数的柯西乘积 一 数项级数 （一）基本概念 1 敛散性 =0 发散 收敛 绝对收敛 发散 条件收敛 收敛 发散 发散 注(1) 注(2) 由比值或根值法判断 发散 注(1) 积分判别法 比值法 根值法 发散 收敛 比较法极限形式 比较法 部分和数列有界 正项级数 注(2) 任意项级数 交错级数 莱布尼兹 任意级数 定义 性质 2 和函数 ①按定义求 ②利用函数项级数在收敛域内某点的值求 （二）基本题型 1，判断敛散性 2，求和函数 3，求极限 注 练习： 1.下列命题正确的有（）个. （1）级数各项乘以常数后其敛散性不变 ； （2）若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散； 收敛； （3）若 ，则 （4）若 都发散， 则 也发散； （5）级数 收敛（发散）等价于其部分和数 列 收敛（发散） ； （6）对任何级数 来说， 都是其余项； #2014022507 练习： 2.下列命题正确的有（）个. （3）由正项级数比值法可知， （1）若 的部分和 有界， （2）若 收敛； 则 当 收敛时， 收敛； 则 正项级数 当 时， 收敛时， 则当正项级数 收敛； 有 （４）由正项级数比值法可知， 正项级数 当 时， 收敛； #2014022508 练习： 3.下列命题正确的有（）个. （1）若对正项级数 由比值法判断其发散， 则其通项一定不趋于零． （２）对正项级数 ， 则两级数敛散性相同. #2014022509 （2）若 收敛， 则 也一定收敛． （3）若 的通项单调递减极限为零， 则 收敛． 练习： 4.下列命题正确的有（）个 （1）级数 与广义积分 有相同敛散性． #2014022510 * * * * * * * * * *