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第八章第1-2节二元一次方程组;二元一次方程组的解法一
课程解读
一、学习目标:
1. 了解二元一次方程组及相关概念,能设两个未知数,列方程组表示实际问题中两种相关的等量关系;
2. 掌握代入法解二元一次方程组,体会消元思想。
二、重点、难点:
重点:二元一次方程组的有关概念及代入法解二元一次方程组。
难点:消元思想在解方程组中的运用。
三、考点分析:
二元一次方程组的有关概念与多项式等有关内容综合出题是中考的常见题型,二元一次方程组的解法一般融于实际问题或其知识,多以填空题、选择题的形式出现,难度不大。
1、二元一次方程
(1)二元一次方程:含有两个未知数(x和y),并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程。如2x+3y=15,5x=10- y等。
注意:①在方程中元是指未知数,二元就是指方程中只有两个未知数。②含有未知数的项(单项式)的次数是1,不可理解为两个未知数的次数都是1。如4xy的次数是2,所以方程4xy+9=0不是二元一次方程。③二元一次方程的左边和右边都必须是整式,例如方程+y=7的左边不是整式,它就不是二元一次方程。
(2)二元一次方程的解:一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。
注意:①一般情况下,一个二元一次方程有无数多个解,但如果对其未知数的取值附加某些限制条件,那么也可能只有有限个解。②二元一次方程的每一个解,都是一对数值,而不是一个。
2、二元一次方程组
(1)二元一次方程组:两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。
注意:①组成方程组的各方程不必都同时含有两个未知数,只要共含两个未知数的几个一次方程组成的一组方程都是二元一次方程组。②方程组各方程中同一个字母必须代表同一个量,否则不能将两个方程合在一起。
(2)二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。
注意:①方程组的解必须满足方程组中的各个方程,而方程组中某一个方程的一个解不一定是方程组的解。②在同一方程组中,各个相同未知数应取相同的值。
3、二元一次方程组的解法
(1)消元思想:二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程,就可以先解出一个未知数,然后再设法求另一未知数。这种将未知数的个数由多化少,逐一解决的想法,叫做消元思想。
(2)代入消元法:二元一次方程组中一个方程,将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解。
注意:①用代入法解题时,先比较两个方程的特点,选出一个系数较简单的方程,并用一个未知数表示另一个未知数。②代入时,不要将变形后的方程代入变形前的那个方程,否则,只能得到一个恒等式,而解不出方程。③当求出一个未知数的值后,通常把这个值代入用这个未知数表示另一个未知数的那个方程,去求另一个未知数的值;它远比把这个值代入原方程组中任意一个方程去求另一个未知数的值要简便得多。
知识点一:二元一次方程组
例1:下列方程是不是二元一次方程,为什么?
①2x-y=1;②x+y2=0;③y-z=4;④yz=;⑤5x-2y;⑥+2y=3;⑦x+y+z=6。
思路分析:
1)题意分析:本题考查二元一次方程的定义。
2)解题思路:根据二元一次方程的定义判断。
解答过程:①2x-y=1是二元一次方程;
②x+y2=0中y2是二次项,所以它不是二元一次方程;
③y-z=4是二元一次方程;
④yz=中yz项是二次项,所以它不是二元一次方程;
⑤5x-2y是代数式,不是方程,当然也不是二元一次方程;
⑥+2y=3左边不是整式,所以不是二元一次方程;
⑦x+y+z=6含有三个未知数,所以它不是二元一次方程。
解题后的思考:任何一个二元一次方程经过整理化简后都可化成ax+by+c=0(a、b、c为常数,a≠0,b≠0)的形式,这种形式叫做二元一次方程的一般形式。一般地,整式方程都是用元和次来定义。
例2:已知是方程组的解,求m+n的值。
思路分析:
1)题意分析:本题考查方程组的解的定义。
2)解题思路:因为是方程组的解,所以同时满足方程①和方程②,将分别代入方程①和方程②,可得由③和④可求出m、n的值。
解答过程:因为是方程组的解,所以将其代入原方程组中的两个方程仍成立,即解得所以m+n=-1+0=-1。
解题后的思考:应该仔细体会已知方程组的解是这类已知条件的用法,并加深理解方程组的解的意义。
例3:写出二元一次方程4x+y=20的所有正整数解。
思路分析:
1)题意分析:一般地,二元一次方程的解有无数组,但正整数解是有限的。
2)解题思路:为了求解方便,先将原方程变形为y=20-4x,由于题中所要求的解限定
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