第四节幂函数剖析.ppt

河南工业大学理学院 一、函数项级数的概念 二、幂函数 第四节 幂函数 一、函数项级数的概念 设un(x)(n=1,2,…)为定义在某实数集合X上的 为定义在集合X上的函数项无穷级数, 函数序列,称 级数或函数级数. 简称函数项 如果对给定的点x0∈X,常数项级 收 的集合,称为级数(8.7)的收敛域(发散域). 散点. 函数项级数(8.7)在点x0处发散, 如果常数项级数 发散,则称 则称函数项级数(8.7)在点x0处收敛, 函数项级数(8.7)的所有收敛点(发散点)构成 敛, x0为级数 (8.7)的收敛点; x0为级数(8.7)的发 对于收敛域中的每一个x,函数项级数(8.7)都 (x属于收敛域) 是定义在收敛域上的一个函数. 为函数项级数(8.7)的部分和. 有唯一确定的和(记为S(x))与之对应. 因此 数(8.7)的和函数, 并称 于是,当x属于函数项 级数(8.7)的收敛域时,有 称S(x)为函数项级 当|q|1时,几何级数 收敛,且有 于是,若令q=x,则函数项级数 的收敛域 为(－1,1), 和函数为 若令 ,则函数项级数 的收敛域为 若令q=sinx,则函数项级数 的收敛域为 为整数 其和函数为 (－∞,－1)∪(1,+∞), 和函数为 二、幂函数 形如 或 的函数项级数,称为幂函数, x0均为常数, 其中an(n=0,1,2,…)和 并称an(n=0,1,2,…)为幂函数的系数. 定理8.9 如果幂级数(8.8)在点x0≠0处收敛,则在满足不等式|x||x0|的一切点x处绝对收敛;如果幂级数(8.8)点x1处发散,则满足|x||x1|的一切点x处发散. 证 设幂级数(8.8)在x0≠0处发散. 因而数列{anx0n}有界,即存在正数M,使得 |anx0n|≤M,n=0,1,2,… 于是,对于满足|x||x0|的所有x,皆有 的必要条件,有 根据级数收敛 其中 由于几何级数 收敛,故由定理8.3 如果幂级数(8.8)在点x1处发散,则对任何满足 若不然,如果存在x2,|x2||x1|,级数 收敛, 假设矛盾.定理证毕. 则由上面的讨论可知,级数 应收敛,与 |x||x1|的x,幂级数(8.8)皆发散. 可知,幂级数(8.8)绝对收敛. |x|R时,幂级数(8.8)收敛; 如果： |x|R时,(8.8)发散. 称R为幂级数(8.8)的收敛半径. 定理8.10 设幂级数(8.8)满足 (1)若0ρ+∞,则 ; (2)若ρ=0,则R=+∞; (3)若ρ=+∞,则R=0. 证 (1)令un(x)=anxn,则 当ρ|x|1, 即 时,幂级数(8.8)绝对收敛; 当ρ|x|1,即 时,幂级数(8.8)发散. 因此, . 于是,由0 ρ+∞和比值判别法可知, (2)ρ=0时,对任意x≠0,由式(8.10)有 故幂级数(8.8)绝对收敛.因此,R=+∞. (3)ρ=+∞时,对任意x≠0,由式(8.10)有 故幂级数(8.8)发散.因此,R=0.定理证毕. 注意,求出幂级数(8.8)的收敛区间(－R,R)之 [-R,R]为收敛域, 的敛散性. 还需判别x=-R和x=R时的级数 和 称区间[－R,R) 或 (－R,R]或 后, 而收敛区间专指开区间(-R,R). 例8.12 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域: 解 (1)由于 可知收敛半径为R=3. 当x=－3时,原幂级数化为 ,它显然绝对 因此,幂级数 的收敛区间为(－3,3), 当x=3时,原幂级数化为 ,这是p=2的p级数 (2)令t=x2,则原幂级数化为 .由于 收敛. 收敛; 收敛域为[－3,3]. 故 的收敛半径为R=2,从而原幂级数的 当 时,原幂级数化为 ,显 因此,幂级数 的收敛区间为 , 收敛半径为 然发散. 收敛区域为 . * *