导数习题及剖析.doc

导数习题及答案 一．选择题 1.曲线在点（1,1）处切线的斜率等于 （ ） A． B． C．2 D．1 【答案】C． 2.已知函数（ ） B. C. D. C 3.定积分的值为（ ） 【答案】 C 【解析】 4.已知函数且则函数的图象的一条对称轴是( ) A. B. C. D. 5．直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （A）（B）（C）2（D）4 6.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 D 7.若则（ ） A. B. C. D.1 【答案】B 【解析】设，则，，所以. 8.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 9.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ） （B） （C） （D） 【答案】 A 【解析】 10、若函数上的一组正交函数，给出三组函数： ①；②；③ 其中为区间上的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 二．填空题 1.在平面直角坐标系中，若曲线(a，b为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是 . 2.曲线在点处的切线方程为 . 3.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________. 【答案】 【解析】 三．解答题 1、（本小题满分12分） 已知函数. 当时，求的极值； 若在区间上单调递增，求b的取值范围. 【解析】1）当时，的定义域为 令，解得 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 所以，当时，取得极小值；当时，取得极大值。 在上单调递增且不恒等于0对x恒成立……………………7分 ……………………………………8分 ……………………………………10分 ……………………………………11分 ……………………………………12分 2、（本小题满分 12 分） ，其中． (Ⅰ)讨论在其定义域上的单调性； (Ⅱ)当时，求取得最大值和最小值时的的值. 解：（）的定义域为， 令得 所以 当或时；当时． 故在和内单调递减，在内单调递增（）， ． ①当时，由（）知在上单调递增在和处分别取得最小值和最大值当时，， 由（）知在上单调递增，在上单调递减在处取得最大值 又当时在处取得最小值当时在和处同时取得最小值当时，在取得最小值，曲线在点（1，处的切线为. (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：. 【解析】：(Ⅰ) 函数的定义域为， 由题意可得??，故 ……………6分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知，?，从而等价于 设函数??，则，所以当??时，??，当??时，??，故??在??单调递减，在??单调递增，从而??在???的最小值为?. ……………8分 设函数??，则，所以当??时，??，当??时，??，故??在??单调递增，在??单调递减，从而??在???的最小值为?. 综上：当时，，即. ……………12分 4.（本小题满分12分） 已知函数= （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设，当时，,求的最大值； （Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001） 【答案】 (1) （2） 2 （1） （2） 5、（本小题满分14分） 已知函数.已知函数有两个零点，且. （）求； （）证明随着的减小而增大； （）随着的减小而增大. 【答案】 （1） （2） 省略 （3） 省略 （20）14分. （）解：，可得. 下面分两种情况讨论： （1）时 在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意. （2）时， 由，得. 当变化时，，的变化情况如下表： ＋ 0 － ↗ ↘ 这时，的单调递增区间是；单调递减区间是. 于是，“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立： 1°；2°存在，满足； 3°存在，满足. 由，即，解得，而此