第五章 ——第四次课自动控制理论精要.ppt

5.1 频率特性 5.2 对数坐标图 5.3 极坐标图 5.4 用频率法辨识线性定常系统的数学模型 5.5 奈奎斯特稳定判据 5.6 相对稳定性分析 5.7 频域性能指标与时域性能指标之间的关系 上面讨论的奈奎斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西辐角定理的条件。但是对于I、II型的开环系统，由于在虚轴上（原点）有极点，因此不能使用柯西辐角定理来判定闭环系统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构奈奎斯特路径。 设系统的开环传递函数为： 可见，在原点有v重0极点。也就是在s = 0点，Gk(s)不解析，若取奈氏路径同上时(通过虚轴的包围整个s右半平面的半圆)，不满足柯西辐角定理。为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半平面，重构奈氏路径如下： 以原点为圆心，半径为无穷小做右半圆。这时的奈氏路径由以下四部分组成： 三、开环传递函数在虚轴上有极点 (b)对于Ⅱ型系统：将奈氏路径中的点 代入 中得： 所以这一段的映射为：半径为 ，角度从 变到 的整个圆（顺时针）。 所以这一段的映射为：半径为 ，角度从 变到 的右半圆。 第C2部分： (a)对于Ⅰ型系统：将奈氏路径中的点 代入 中得： * * * * 第五章 频率响应法 5.5 奈奎斯特稳定判据 系统稳定的充要条件？ 思 考 对于一个自动控制系统，其开环数学模型易于获取，同时它包含了闭环系统所有环节的动态结构和参数。如果知道了开环特性，要研究闭环系统的稳定性？ 奈奎斯特（Nyquist）稳定判据。 Nyquist稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。 一、辐角原理 对于一个复变函数 式中 -zi(i =1,2,…,m)为F(s)的零点， -pj(j =1,2,…,n)为F(s)的极点。 [柯西辐角原理]：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线Cs包围s平面上F(s)的 Z 个零点和 P 个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线Cs 移动一周时，在F(s)平面上映射的封闭曲线CF 将以顺时针方向绕原点旋转 N 圈。N，Z，P的关系为：N = Z－P。 示意图 若N为正，表示CF顺时针运动，包围原点； 若N为0， 表示CF顺时针运动，不包围原点； 若N为负，表示CF逆时针运动，包围原点。 函数F(s)是复变量s的单值函数，s可以在整个s平面上变化，对于其上的每一点，除有限(n)个极点外，函数F(s)都有唯一的一个值与之对应。 对于一个复变函数 [例]设： F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面。其中s平面上的全部零点都映射到F(s)平面上的原点；s平面上的极点映射到F(s)平面上时都变成了无限远点。除了s平面上的零、极点之外的普通点，映射到F(s)平面上是除原点之外的有限点。 注意，虽然函数F(s)从s平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然而逆过程往往并非如此。例如已知 这个函数在有限的s平面上除s = 0,－1, － 2以外均解析，除此三点外，s平面上的每一个s值在F(s)平面只有一个对应点，但是F(s)平面上的每一个点在s平面上却有三个映射点。 现考虑s平面上一点s1映射到F(s)平面上的点F(s1)可以用一个向量来表示，即当 向量的幅值为 向量的相角为 Re Im Re Im s 平面 F(s)平面 当s平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也将是一段曲线CF ，该曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线Cs决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变化量，则有 例 [例]设： ，当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从(-1，j1)到(-1，j0) ，映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从(0，-j1)到(-1，-j0) ，相角的变化为： 现考虑s平面上既不经过零点也不经过极点的一条封闭曲线Cs 。当变点s沿Cs顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在F(s)平面上也映射出一条封闭曲线CF 。在s平面上，用阴影线表示的区域，称为Cs的内域。由于我们规定沿顺时针方向绕行，所以内域始终处于行进方向的右侧。在F(s)平面上，由于Cs映射而得到的封闭曲线CF的形状及位置，严格地决定于Cs 。 示意图 在这种映射关系中，有一点是十分重要的，即：不需知道围线Cs的确切形状和位置，只要