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第 四 章 空 间 力 系 § 4 – 6 重心 重心的概念及坐标公式 空间平行力系的简化结果必是一合力, 合力通过的某一点称为 此平行力系的作用中心. 平行力系的作用中心有这样一个性质: 同时以同一个角度改变此力系每一个力的方向, 平行力系的中心的位置不变. 作用在物体上的 重力是一种同向平行力系, 重力的作用中心就称为 ‘ 重心’. 重心是力学中重要的基本概念, 而与之相关的质心更是力学中的基本概念之一. 建立坐标系如图示: 将物体分成n 个小块, 每个小块重 Pi . ( i = 1, 2, 3, 4 …n .) 其空间的坐标为 ( xi , yi , zi ) , ( i = 1, 2, 3, 4…n .) 设C 点为物体的重心, 其空间的坐标为 ( xc , yc , zc ) . 由合力矩定理: z y x O P * * x y z 本章研究的是空间力系的简化和平衡的条件.空间力系从实际上 讲是最具有普遍意义的力系, 因为任何物体的受力都是空间分布的. 平面力系只不过是空间力系的特殊情况. 与平面力系类似, 我们将空间力系也分为汇交力系, 力偶系和任意力系来研究. §4 – 1 空间汇交力系 1. 力在正交坐标轴的投影和力沿直角坐标轴的分解 a. 一次投影 O ? ? ? ? ? O x y z b.二次投影 2.空间汇交力系的合成与平衡 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和, 合力的作用线通过汇交点. 投影定理 x y z 汇交力系平衡 例一. ( 书上例 4 – 3 p75 ) 起重杆的A 端用球铰链固定在地面上, 而B 端用绳子CB 和 DB 拉住, 二绳分别系在墙壁的 C 和 D 点. C D 连线水平.已知 CE = EB = DE , ? = 30o, CBD 平面与水平面间的夹角∠EBF = 30o, 物重 P = 10 kN. 起重杆的自 重不计, 求 起重杆的A 端及绳子所受的力. P A B C E D F 30o 30o B P A 30o 30o E F C D 45o 45o 45o 30o 取AB 杆分析, 选坐标轴如图. x y z §4 – 2 力对点的矩和力对轴的矩 1. 力对点的矩以矢量表示 — 力矩矢 定义式: ? A B O 在三个坐标轴上投影为: 2. 力对轴的矩 定义式: 力F 对 z 轴的矩, 等于此力在垂直于 z 轴平面上的投影对 z 轴与平面交点的矩. z xy面 E O d 力矩为零的情况: ( 1 ) 力平行于轴无矩. ( 投影为零) ( 2 ) 力过轴无矩. ( 力臂为零) 力对轴矩的解析表达: 从 z 轴 往下看, 有: x y O (z) E ? x y 力对轴( 有向直线 ) 的矩是一代数量. 其正负规定为 : 从轴的正端看下去, 力的投影绕轴逆时针转为正, 顺时针转为负. 或, 可用右手螺旋法则确定力矩的正负. x y z O A E y x z 3. 力对点的矩与对过此点的三正交轴之矩的关系 根据前面力对轴的矩的 定义, 我们不难得到如下的力对轴之矩的表达式. 对比力对点的矩在三个正交坐标轴的投影 力对点的矩在通过该点的轴上的投影, 等于此力对该轴的矩. ▲: ( 1 ) 上面表达式中力和位矢的投影分量都是代数量, 本身含正负号. ( 2 ) 所选的坐标系必须是右手坐标系. ? 例一. ( 书上 例4 – 4 ) 手柄 ABCE 在水平面内. 在D处作用一力 F . 它在垂直 于 y 轴的平面内, 偏离铅垂线的角度为? . CD = a . BC ∥x 轴, CE ∥y 轴, AB = BC = l . 试求力 F 对 x , y , z 轴的矩. x y z A B C D E l l a 解: ★: 计算力对轴的矩时, 一般不要死套 公式. 根据受力图与坐标轴的取向, 直接计算力的投影, 找出力臂及判 断力矩的 方向, 乃是最常用的方法. 例二. ( 参见 p 101 思考题 4 – 1 ) 在棱长为 a 的正方体的顶角 A 处作用一力F . 求 此力对x , y ,z 轴的矩. x y z O A 解: 力F 在图示 x 轴, y 轴 , z 轴 上的投影分别为: 在上题的思维过程中也寓含着合力矩定理: 合力对某一轴的矩, 等 于其各分力对同一轴之矩的代数和. §4 – 3 空间力偶 1. 力偶矩以矢量表示 · 力偶矩矢 x y z O 平面力系中各力偶是共面的