第六章微分方程剖析.doc

第六章 微分方程 6.1微分方程的基本概念 6.1.1微分方程的相关定义 把联系自变量、未知函数、未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解 (1)未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，是多元函数的叫做偏微分方程 (2)线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。 6.2一阶微分方程及方程的解 一阶微分方程的一般形式为或. 6.2.1可分离变量微分方程 微分方程中的变量，可通过变形分列于等式两边，形如可化为 ，对分离变量后的方程进行两边积分，则， 若设和分别是和的一个原函数，则有，其中为任意常数. 注：下文中的都为任意常数，不再叙述. 6.2.2一阶线性微分方程 形如的方程称为一阶线性微分方程，其中和均为连续函数，若则称为一阶线性齐次微分方程；否则称为一阶线性非齐次微分方程. (1)一阶线性齐次微分方程 定理1 如果函数与是一阶线性齐次方程的两个特解, 则也是一阶线性齐次方程的解. 注：可推广至更高阶的线性齐次微分方程. 定理2 如果函数与是一阶线性齐次方程的两个线性无关的特解,则是一阶线性齐次方程的通解. 注：可推广至更高阶的线性齐次微分方程. 这是可分离变量方程，可解得. (2)一阶线性非齐次微分方程 定理3 设是一阶线性非齐次方程的一个特解,是所对应的一阶线性齐次方程的通解,则是一阶线性非齐次方程的通解. 注：可推广至更高阶的线性非齐次微分方程. 定理4 设一阶线性非齐次方程的右端，而与分别是方程与的特解,那么就是一阶线性非齐次方程的特解. 注：可推广至更高阶的线性非齐次微分方程. 现在已经知道了一阶线性齐次线性微分方程的通解，可以将常数换成关于的函数，即有假设的解为. 把代入，得， 两边积分有, 则解为， 根据定理3得通解为. 例6.1物体在重力的作用下受空气阻力下落，设阻力与物体下落的速度成正比（比例系数为常数），物体的重量为，重力加速度为，请问下降速度最大接近于多少? 解：依据牛顿第二定律，得未知函数的微分方程为，化为非齐次线性微分方程，解得通解为. 由题意得时，代入通解得，故相应的特解，很明显这是一增函数，当时，，即下降速度最大接近于. 6.2.3全微分方程（全微分详见8.2） 如果一阶微分方程，其中左边恰好是某个函数的全微分. 显然、、、， 由，两边对积分得， 再对求导得， 先求出再求出，即可得到通解. 6.2.4通过变量代换得到以上三种基本类型的微分方程 (1) 令，即，两边对求导得，化为可分离变量微分方程求出通解方程. (2) 令，两边对求导得，化为可分离变量微分方程求通解. (3) ① 若，令，两边对求导得，化为可分离变量微分方程求通解. ② 若为方程组的解，令，，则原方程可化为，化为(1)类型的方程求通解. (4)伯努利方程 令，两边对求导得，化为一阶线性微分方程求通解. 6.3二阶常系数线性微分方程 形如的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数，若则称为二阶常系数线性齐次微分方程；否则称为二阶常系数线性非齐次微分方程. 6.3.1二阶常系数线性齐次微分方程 由于指数函数(为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 所以就用来试着看能否选取适当的常数,使满足二阶常系数线性齐次方程. 把代入二阶常系数线性齐次方程有：，因为, 所以只. (1) 由于的两个解：,， 所以，是二阶常系数线性齐次方程的两个特解,且,即与线性无关， 则根据定理2,二阶常系数线性齐次方程的通解为 . (2) 只有一个解：.这时只能得到二阶常系数线性齐次方程的一个特解,还需求出另一个解,且使常数,设, 即假设,将代入二阶常系数线性齐次方程, 得： ， 整理得：. 由于, 所以，又因为，，从而有，不妨取,可得到二阶常系数线性齐次方程的另一个解. 根据定理2,二阶常系数线性齐次方程的通解为 . (3)当 有一对共轭复根， 于是，， 根据欧拉公式 ，则有 ； ， 为了去掉虚数，根据定理1，又得到两个解： ；， 由于常数,即与线性无关， 根据定理2,二阶常系数线性齐次方程的通解为. 6.3.2二阶常系数非齐次线性微分方程 (1)（为常数,是关于的一个次多项式） 二阶常系数线性非齐次方程右端是多项式与指数函数乘积，它导数仍为同一类型函数,因此二阶常系数线性非齐次方程的特解可能为,其中是某个多项式函数. 把代入二阶常系数线性非齐次方程并消去,得. ①若不是特征方程的根