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数学问题大师━━希尔伯特 陕西省丹凤中学 李德葆 726200 内容提要：本文分三个部分介绍了希尔伯特的生平及希尔伯特问题的提出过程、部分数学研究成果，阐述了希尔伯特对20世纪数学发展的巨大影响，最后简介希尔伯特的教育思想对当前新课改的现实意义。 关键词：希尔伯特 问题 公理化 哥廷根 “23个数学问题””的存亡，他不得不慎重考虑这个问题，为此他写信给好友闵可夫斯基进行商量，老朋友替他作了认真分析，回信建议:采用第二种想法.希尔伯特坚定了信心，开始了紧张的选题工作。 大会在八月份开幕，而在六月份还没有定稿，大会筹备组发给与会者的程序册里也没有希尔伯特的关于展示数学发展的演讲，后来闵可夫斯基和胡维兹也帮助希尔伯特仔细选题，经过几个月的努力工作，希尔伯特终于露出了笑脸。 1900年8月6日，第二届国际数学家大会在巴黎召开，年方38岁的数学家希尔伯特走上讲台，第一句话就说到：“揭开隐藏在未来世界之中的面纱，探索未来世纪的前景，谁不高兴呢？”接着他向与会者——也向国际数学届提出了影响深远的“23个问题”。这就是希尔伯特的演讲，这一演讲成为世界数学史的重要里程碑，为20世纪的数学发展揭开了光辉的一页。 据统计，1936－1974年被誉为数学界诺贝尔奖的菲尔兹（Fields）国际数学奖的20位获奖人之中，至少有12人的工作与希尔伯特的问题有关。1976年美国数学会评论1940年以来的美国十大数学成就，就有3项是希尔伯特问题的⑴、⑸、⑽的解决。1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特２３个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余的大多数也都有重大进展。 科学发展的每一时代都有自己的问题，一个科学家如此自觉地、集中地提出一整批问题并且持久影响一门学科的发展在科学发展史上还是罕见的。 值得高兴的是中国数学家在希尔伯特的第8和第16个问题上作出了重要贡献。 第8个问题是“素数问题”，陈景润的成果至今在世界上领先，他部分解决了这个问题。 第16个问题是“代表曲线和代数曲面的拓扑问题”。中国数学家董金柱、叶彦谦、秦元勋、蒲富金、史松龄、王明淑等的研究成果居世界领先。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。 二 、希尔伯特的数学贡献 希尔伯特从大学毕业起，就开始了他的研究生涯，研究工作遍及数学的各个分支，但他从来不搞细枝叉节。每个领域中，他都把自己的目标集中在重大和关键问题上，这类问题具有下列共同特点： 1、清晰性和易懂性。“因为清楚，易于理解的问题能够吸引人的兴趣，而复杂的问题能使人望而却步”。(希尔伯特语,下同) 2、困难（“这才能诱使我们去钻研它”），但又不是完全无从下手（“免得使我们徒劳无功”）。 3、意义重大（“在通向那隐藏着的真理的曲折道路上，它是一盏指路明灯”）。 希尔伯特正是遵照上述原则去寻找和解决一个又一个的问题并取得一个又一个重大成就的。他每搞一个问题总是锲而不舍，不达目的决不罢休。在解决问题的道路上，他总是不为陈规陋习所束缚，而去寻找各种途径，充分发挥他的巨大的创造才能。 他的研究工作大致可以分为五个领域六个时期： （1）不变式理论（1885～1893）； （2）代数数域理论（1893～1898）； （3）几何学基础（1898～1902）； （4）积分方程（1902～1912）； （5）数学物理方法（1910～1922）； （6）一般数学基础（1922～1930）； 1、不变式理论 不变式的观念在18世纪已有萌芽，但正式提出此概念的是英国数学家、逻辑学家布尔GeorgeBoole，现在计算机科学中常谈到的Boole代数就是来源于他的理论。1941年，Boole正式提出不变式的概念。 1858年数学家Canlty（凯雷）对于两个变元的情形给出了问题的解答。可是到1868年德国数学家卡当Gordan指出凯雷的结果是不对的，但计算方法十分复杂，不过能写出具体的公式，其结果令人叹服，这样卡当便荣获了“不变式之王”的雅号，而年轻的希尔伯特先从二元入手，吃透了Gordan的方法，并对二元情形给出了一个简易证法，而后对三元、四元、n元他发现可用统一方法处理，这就是著名的希尔伯特定理。1889年他从这一定理出发，仅仅用了几页纸就推出了Gordan问题的一般答案：n元型的不变式都具有有限基。这个初出茅庐的数学家不仅得出不变式论的基本定理，更重要的是他使用的方法论具有革命的意义，希尔伯特用存在型证法取代了构建型的方法，这种方法证明时只由定理出发，进行逻辑推算，根本不涉及不变式以及它们的个数，无怪乎“不变式之王”看到希尔伯特的证