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第四章 导热问题的数值解法 传热学研究手段-数值解法 根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n 来表示节点(m+1,n)而温度tm+1,n 用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n)的 温度tm-1,n 讨论关于边界热流密度的三种情况： （1）绝热边界 即令上式 即可。 （2） 值不为零 流入元体， 取正，流出元体， 取负使用上述公式 （3）对流边界 此时 ，将此表达式代入上述方程，并将此项中的 与等号前的 合并。对于 的情形有 （a）平直边界 （b）外部角点 （c）内部角点 2 代数方程的求解方法 2） 迭代法：先对要计算的场作出假设（设定初场），在迭代计算中不断予以改进，直到计算前的假定值与计算结果相差小于允许值为止的方法，称迭代计算收敛。 1） 直接解法：通过有限次运算获得精确解的方法，如：矩阵求解，高斯消元法。 2 迭代法目前应用较多的是： 1 ）高斯——赛德尔迭代法：每次迭代计算，均是使用节点温度的必威体育精装版值。 2 ）用雅可比迭代法：每次迭代计算，均用上一次迭代计算出的值。 设有一三元方程组： 其中 （ i=1,2,3 ； j=1,2,3 ）及 是已知的系数（均不为零）及常数。 采用高斯——赛德尔迭代法的步骤： （1）将三元方程变形为迭式方程： （2）假设一组解（迭代初场），记为： 并代入迭代方程求得第一 次解 每次计算均用必威体育精装版值代入。 （3）以新的初场 重复计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，则称迭代收敛，计算终止。 判断迭代是否收敛的准则： k及k+1表示迭代次数； —第k次迭代得到的最大值 当有接近于零的t 时，第三个较好 说明： 1 ）对于一个代数方程组，若选用的迭代方式不合适，有可能导致发散，即称迭代过程发散； 2 ）对于常物性导热问题，组成的差分方程组，迭代公式的选择应使一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值的代数和，此时，结果一定收敛。 3 ）采用热平衡法导出差分方程时，若每一个方程都选用导出该方程中心节点的温度作为迭代变量，则上述条件必满足，迭代一定收敛。 这一条件数学上称主对角线占优（对角占优）； 与稳态导热相比，非稳态导热多了一个非稳态项。 4.4非稳态导热问题的 数值解法 二维稳态导热： 一维非稳态导热： 4.4非稳态导热问题的 数值解法 管装药 圆柱七孔药 底排药柱 固体发射药常用的点火模型Ⅰ 4.4非稳态导热问题的 数值解法 1、固定边界、火药不透明且表面接触温度保持不变 固体发射药常用的点火模型Ⅰ 4.4非稳态导热问题的 数值解法 1、固定边界、火药不透明且表面接触温度保持不变 固体发射药常用的点火模型Ⅰ 4.4非稳态导热问题的 数值解法 2、固定边界、不透明、表面接受辐射热通量 固体发射药常用的点火模型Ⅰ 4.4非稳态导热问题的 数值解法 2、固定边界、不透明、表面接受辐射热通量 * 武器传热学 主讲：张领科 1 、重点内容： ① 掌握导热问题数值解法的基本思路； ② 利用热平衡法和泰勒展开法建立节点的离散方程。 2 、掌握内容：数值解法的实质。 3 、重点掌握内容：非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。 ???? 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。 ???? 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。 4.1.1 基本思想 建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化） 建立节点物理量的代数方程(组) 设立温度场的初值、边值 求解代数方程（组） 是否收敛 解的分析 改进初场/边界/步长 是 否 4.1.2 导热问题数值求解基本步骤 图4-1 物理问题数值求解过程 4.1.2 导热问题数值求解基本步骤 图4-2a 二维矩形域导热问题 以图4-2a所示二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题对数值解法的六个步骤作进一步说明： （1）建立控制方程及定解条件 针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为： 描述物理问题的微分方程常称控制方程。 由图可知，四个边界条件分别为第一类和第三类边界条件。 4.1.2 导热问题数值求解基本步骤 （2）区域离散化（确立节点） 4.1.2 导热问题数值求解基本步骤 二维矩形域