第四章多元线性回归剖析.ppt

的主要原因在于得出这两种系数的前提条件截然不同（简单回归系数与相应的偏回归系数的差异道理也同此） 。例如，研究y与x1的线性相关，偏相关系数乃是将x2对y以及x2通过x1对y的影响统统消去后y与x1的线性相关系数，而简单相关系数乃是将x2对y以及x2通过x1对y的影响都笼统地包含在内的y与x1的线性相关系数。因此，除非r12=0和r2y=0，偏相关系数r1y.2决不会和简单相关系数r1y相同，而简单相关系数r1y总是或多或少的包含着虚假成分。 因此，在一个多变数资料的研究中，由于各变数间经常存在着不同程度的相关，所以只有偏相关（回归）系数才能正确评定两个变数间的线性相关程度和性质，而简单相关（回归）系数所表示的只是表面的、非本质的关系，因而是靠不住的。这就是多变数资料必须采用多元回归或多元相关的分析方法，而不能采用简单相关回归的方法一对一对地进行相关回归分析的原因。 第七节 自变数相对重要性的分析——通径分析 在实际应用中，经常需要对最优多元线性回归方程中的自变数的主次（相对重要性）进行判断，以抓住关键因素，改进依变数的反应量，是具有实际价值的。通径分析可以帮助我们了解自变数的相对重要性。通径分析也是一种多变数线性关系研究的方法。 一、通径系数 Path coefficient，也叫标准偏回归系数。 通径和通径系数： 设依变数y受到两个彼此独立的自变数x1和x2的影响，则关系可图解为： y x1 x2 独立通径图 图中的两条带箭头的连接线叫通径 ，此图中x1→y，x2→y是彼此独立的；若x1与x2之间存在相关，则通径网络为： y x1 x2 r12 相关通径图 在相关通径图中，除两条直接通径外，由于x1和x2间存在相关，又产生两条间接通径：x1→x2→y和x2→x1→y。这种情况可以推广到m个自变数。 记直接通径：i→y（i=1,2,…m）。 记间接通径： i→j→y（i ≠j ）。 表示各条通径对于改变y反应量的相对重要性的统计数就叫通径系数。记作：p i→y或p i→j→y。 通径系数的定义可在偏回归系数的基础上导出。因为偏回归系数bi就是y在i→y通径上的平均反应量，此反应量大小显然与i→y通径的重要性有关。但还不能用偏回归系数直接反映自变数的相对重要性，原因是（1） bi是带具体单位的，单位不同，无从比较。（2）即使单位相同，若xi的变异度不同，也不能比较。因为一个变 异度小的自变数，尽管其bi可能较大，但实际上并不能使y的取值有较大程度的改变；而变异度较大的自变数，即使其偏回归系数bi可能较小，却仍有可能较大幅度的改变y取值。因此只要对bi施加消去单位不同和变异度不同的运算，就能得到表示i→y通径相对重要的统计数—通径系数。 ① 此式的意义是，在i→y的通径上，xi若增加一个标准差单位，y将增加（pi≥0）获减少（pi≤0）pi个标准差单位。故通径系数可看作是xi对y的标准效应，由pi绝对值的大小，可以知道xi对y的标准影响力，从而确定xi对改变y取值的相对重要性。 当上述直接通径系数 确定后，计算间接通径系数 是很方便的。因为rij本身就是一个标准化的量，所以： 或 以上① 、②通径系数都是有方向的量，箭头表示作用的方向，如果xi和y互换，则 ② 通径系数的取值在实数范围，可以大于1或小于-1，这些性质是它具有回归的特点而不同于相关，但是通径系数又是一个纯量，不带单位，这又使它有着相关的特点而不同于回归。 二、通径系数的计算和假设测验 上述是通过偏回归系数导出通径系数，实践中若仅进行通过通径系数以评定各自变数的相对重要性，并不需要偏回归系数，可通过下面方法进行通径系数的计算。 1. 若仅求通径系数，解下面方程组即可。 由上面方程组可看出，通径系数实际上就是xi与y的相关系数riy的线性分解的分量。当各自变数间存在着相关时，任一riy都被分解成m项，其中一项是直接通径系数pi，其余m-1项是由于xi与y间相关而形成的间接通径系数 。当然，若个变数彼此独立（不存在相关），则上述方程组的系数成为对角阵，于是所有间接通径都不存在，即pi=riy。由此可知，只有在各 变数都独立时，相关系数riy的绝对值大小才可反映xi对y的相对重要性，否则依据不足。 2. 若为了求得通径系数pi的标准误和进行假设测验，宜采用下面的相关系数矩阵法来计算通径系数。类似偏相关系数的计算。 以上R阵和R-1阵都是对称的。在R中，