第五讲：直线与平面及平面与平面的相对位置关系(相交),点、直线和平面的综合题精要.ppt

点、直线、平面综合问题 距离问题——作垂直、求实长(度量) 相对位置关系(定位) 角度问题(度量) 求两平面的交线 垂直--直线与平面垂直;　　　 平面与平面垂直 　　　直线与平面垂直的几何条件： 若一直线垂直于平面内的任意两条相交直线，则直线与平面互相垂直。 两平面垂直的几何条件 距离问题 基本问题：点到直线的距离 点到平面的距离 衍生问题: 两直线间距离(平行和交叉) 直线到平面的距离 两平面间的距离 距离问题 根据要求求距离 根据要求求距离 求两交叉直线的公垂线。 空间几何元素之间相对位置关系 求角度 直线的倾角－－用直角三角形法 平面的倾角－－用最大斜度线 两直线的夹角－－求角所在平面实形 直线与平面的夹角－－借助垂线 两平面的夹角－－作垂面 求角度 求直线AB与P平面的夹角。 小结－－本讲基本要求 例 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交 。 分析 作图 例 试过点N 作一平面，使该平面与V面的夹角为60°，与H 面的夹角为45 °。 O X 分析：平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为余角。 * * 直线与平面、平面与平面的相对位置——相交（含垂直） M 平面与平面相交 　　 两平面相交，其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。 要讨论的问题： ① 求两平面的交线 方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 ② 判别两平面之间的相互遮挡关系， 即：判别可见性。 　　求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题。 A B C F K N L 可通过正面投影直观地进行判别。 a b c d e f c? f? d? b? e? a? m?(n?) 平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。 ① 求交线 ② 判别可见性 从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。 n ● m ● ● 如何判别？ 例1：求两平面的交线MN， 并判别可见性。 还可通过重影点判别可见性。 还有何办法判别？ 步骤： １．空间及投影分析 ２．作 图 X O b? c? f? h? a? e? a b c e f h 1(2) 平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。a?b?与e?f?的交点m? 、 b? c?与f ?h?的交点n?即为两个共有点的正面投影，故m?n?即交线MN的正面投影。 ① 求交线 ② 判别可见性 　　点Ⅰ在FH上，在上方，点Ⅱ在BC上，在下方，故fh可见，n2不可见。 m ● ● n? ● 2? ● n ● m? ● 1? ● 例2：求两平面的交线MN， 并判别可见性。 步骤： １．空间及投影分析 ２．作 图 X O 两一般位置平面相交，求交线步骤： 1．用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。 l l? n m m? n? PV QV 1? 2? 2 1 k? k e’ e 2．连接两个共有 点，画出交线KE。 X O 定理1 若一直线垂直于一平面，则该直线的水平投影必垂直于该平面的水平线的水平投影；其正面投影必垂直于该平面的正平线的正面投影。 k n k? n? X O 定理2（逆） 若一直线的水平投影垂直于一平面水平线的水平投影；其正面投影垂直于该平面正平线的正面投影，则该直线必垂直于该平面。 X O 例3：平面由?BDF给定，试过定点K作平面的法线。 a? c a c? n? n X O h? 例4：试过定点K作特殊位置平面的法线。 h h h h? h? （a） （c） （b） 例5：平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于该平面。 e? f? e f 不垂直 X O 若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。 A D 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。 两平面垂直 两平面不垂直 g? 例6 平面由?BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。 h a? c a c? h? g 例题 试判断?ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。 f? f d? d 结论： 　　因为AD直线不在? ABC平面上，所以两平面不垂直。 例题　试过定点A作直线与已知直线EF正交。 E Q 分析——过已知点A作平面垂直于已知直线EF， 　　　　并交于点K，连接AK，AK即为所求。 F A K 作图 2? 1 a? e f a f? e? 1? 2 2? 1