第八章 质点的运动微分方程精要.ppt

理论力学电子教程 第八章 质点运动微分方程 第三篇 动力学 引 言 二.力学模型 一.研究对象： 研究物体的机械运动与作用力之间的关系 2.质点系：由有限或无限个有着一定联系 的质点组成的系统。 1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 质点； 刚体作平动时,刚体 质点。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。 三.动力学分类: 质点动力学 质点系动力学 质点动力学是质点系动力学的基础。 四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。 综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。 自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 第八章 质点的运动微分方程 第一节 质点动力学的基本方程 第二节 质点运动微分方程 第三节 质点动力学两类问题 出自牛顿名著《自然哲学之数学原理》，总结了伽利略和惠更斯的研究成果。 使用条件： 动力学基本定律是动力学的基础，但它们只能直接应用于质点，对于质点系和刚体，应将它们分别应用于每一质点，然后推导出刚体和质点系的运动规律。 主要内容： 牛顿三定律 第一定律：（又称惯性定律） 第一节 质点动力学的基本方程 质点如不受其它物体（力）作用，则将保持静止或匀速直线运动的状态。 任何质点保持其运动状态不变的特性，称为惯性。而质点的匀速直线运动又称为惯性运动。 惯性运动的现象：站在匀速直线运动汽车上的人，在汽车突然刹车时向前倾倒，即为惯性的缘故。 第二定律：（力与加速度之间关系的定律） 质点受到力作用时所获得的加速度，其大小与力的大小成正比，而与质点的质量称正比；加速度的方向与力的方向相同。 式中a为质点的加速度，m为质点的质量，F为作用于质点上之外力。若同时受到几个力作用，则 （8－1） 由式（8－1）知：以同样的力作用在质点上，当质量m愈大，则加速度a愈小，质点愈不容易改变它的运动状态。因此，质点的质量是其惯性的度量。 对于质量而言，当质点的速度只有在v远小于c情况，m才认为是常量，因为存在 存在的关另重量和质量系： 其中g为重力加速度，一般取为g=9.81m/s2。 在国际单位指中，长度、质量和时间是基本单位，它们分别为m、kg和s，其它单位是导出单位，即质量为1kg的物体产生1m/s2的加速度时，作用于该质量的力称为1N。 1N=1kg·1m/s2=1m·kg/s2 第三定律：（作用力与反作用力定律） 两个物体相互作用的力，总是大小相等、方向相反、沿同一直线，且同时分别作用在两个物体上。 此定律既适用于平衡的物体，而且也适用于任何运动的物体。 由动力学第二定律，建立了质点加速度与它的受力（合外力）之间的关系式： （8－2） （8－3） 上式即为矢量形式的质点运动方程。 第二节 质点运动微分方程 1、矢量形式的质点运动方程 因 代入（8－2）式，有 2、直角坐标系的投影式 将（8－3）式投影至固定的直角坐标系Oxyz坐标轴上，则有 （8－4） 上述即为直角坐标形式的质点运动微分方程。 z x y M r y x z o 2、自然坐标系的投影式 切线轴t，主法线轴n，副法线轴b，考虑到 （10－5） 上式即为自然轴投影式的质点运动微分方程。 用质点运动微分方程的投影式可解决质点动力学问题，解题时要注意根据问题的条件对质点进行受力分析合运动分析。 包括两类问题 ①已知质点的运动规律，求作用于质点的力。此类问题仅用到微分运算，故又称为微分问题。 ②已知作用于质点的力，求质点的运动规律。此类问题需对质点运动微分方程进行积分，故又称为积分问题。 第二类问题比较复杂。除了要给知作用于质点的力外，还须给运动的初始条件，这样才能确定质点的运动。 第三节 质点动力学两类问题 例8-1 如图所示为在倾斜轨道上运动的加料子车，其速