第六章 常微分方程初值问题数值解法精要.ppt

第9章 常微分方程初值问题数值解法; 在高等数学中，对于常微分方程的求解，给出了一些典型方程求解析解的基本方法，如可分离变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等。但能求解的常微分方程仍然是有限的，大多数的常微分方程是不可能给出解析解。 譬如 ;再如，方程 ;从实际问题当中归纳出来的微分方程，通常主要依靠数值解法来解决。本章主要讨论一阶常微分方程初值问题 ;数值方法的基本思想 对常微分方程初值问题(9.1)式的数值解法，就是要算出精确解y(x)在区间?a,b?上的一系列离散节点 处的函数值 的近似值 。相邻两个节点的间距 称为步长，步 长可以相等，也可以不等。本章总是假定h为定数，称为定步长，这时节点可表示为 数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点的数值解。 ; 对常微分方程数值解法的基本出发点就是离散化。其数值解法有两个基本特点，它们都采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进，描述这类算法，要求给出用已知信息 计算 的递推公式。建立这类递推公式的基本方法是在这些节点上用数值积分、数值微分、泰勒展开等离散化方法，对初值问题 中的导数 进行不同的离散化处理。 ;对于初值问题 的数值解法，首先要解决的问题就是如何对微分方程进行离散化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一类是计算yi+1时只用到xi+1, xi 和yi，即前一步的值，因此有了初值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为单步法；其代表是龙格—库塔法。另一类是计算yi+1时，除用到xi+1,xi和yi以外，还要用到 ，即前面k步的值，此类方法称为多步法；其代表 是亚当斯法。 ;§9.2 简单的数值方法与基本概念 9.2.1 Euler公式 欧拉（Euler）方法是解初值问题的最简单的数值方法。初值问题 的解y=y(x)代表通过点 的一条称之为微分方程的积分曲线。积分曲线上每一点 的切线的斜率 等于函数 在这点的值。 ;Euler法的求解过程是:从初始点P0(即点(x0,y0))出??, 作积分曲线y=y(x)在P0点上切线 (其斜率为 ),与x=x1直线;同样, 过点P1(x1,y1),作积分曲线y=y(x)的切线 交直线x=x2于P2点,切线 的斜率 = 直线方程为;当 时,得 ; 从图形上看,就获得了一条近似于曲线y=y(x) 的折线 。;通常取 (常数),则Euler法的计算格式 ; ;例9.1 用欧拉法解初值问题 ;clear; y=1, x=0, %初始化 for n=1:10 y=1.1*y-0.2*x/y, x=x+0.1, end;9.2.2 梯形公式 为了提高精度,对方程 的两端在区间上 积分得， 改用梯形方法计算其积分项，即 ;( 9.5 ) ;9.2.3 两步欧拉公式 对方程 的两端在区间上 积分得 ; 前面介绍过的数值方法,无论是欧拉方法,还是梯形方法，它们都是单步法,其特点是在计算yi+1时只用到前一步的信息yi;可是公式(7.7)中除了yi外,还用到更前一步的信息yi-1,即调用了前两步的信息,故称其为两步欧拉公式 ;9.2.4． 欧拉法的局部截断误差 衡量求解公式好坏的一个主要标准是求解公式的精度, 因此引入局部截断误差和阶数的概念。 定义9.1 在yi准确的前提下, 即 时, 用数值方法计算yi+1的误差 , 称为该数值方法计算时yi+1的局部截断误差。 对于欧拉公式，假定 ，则有 ;定义9.2 数值方法的局部截断误差为 ,则称这种数值方法的阶数是P。步长(h1) 越小,P越高, 则局部截断误差越小,计算精度越高。欧拉公式的局部截断误差为 , 欧拉方法仅为一阶方法。 两步欧拉公式比欧拉公式精度也是高一个数值方法,设 , 前两步准确,则两步欧拉公式 ;由 ;9.2.5 改进的欧拉公式 显式欧拉公式计算工作量小,但精度低。梯形公式虽提高了精度,但为隐式公式,需