立体几何垂直的基本定理和求体积——第2次课选编.docx

 PAGE \* MERGEFORMAT 19 立体几何垂直关系和求体积讲解 要点提示： 掌握简单立体几何形状和其性质 主要掌握基本结构形状和其组合体，会看三视图 2、掌握空间点线面之间的关系 线线、线面、面面 平行和垂直 3、求体积的一般方法 直接法（定义）：求体积是底面积乘以高，故应该掌握点到面之间距离的求法，线面垂直在求体积的应用比较的多。 间接法：如割补法、等体积法等。 一、立体几何基本的空间几何形状和其性质 1．简单空间几何体的基本概念： (1) (2)特殊的四棱柱： (3)其他空间几何体的基本概念： 几何体基本概念正棱锥底面是正多面形，并且顶点在底面的射影是底面的中心正棱台正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是正棱台圆柱以矩形的一边所在的直线为轴，将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体圆锥以直角三角形的一边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周形成的曲面围成的几何体圆台以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周形成的曲面围成的几何体球面半圆以它的直径为轴旋转，旋转而成的曲面球球面所围成的几何体 2．简单空间几何体的基本性质： 几何体性质补充说明 棱柱(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形 (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 (3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形(1)直棱柱的侧棱长与高相等，侧面及对角面都是矩形 (2)长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和正棱锥(1)侧棱都相等，侧面是全等的等腰三角形 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形球(1)球心和球的截面圆心的连线垂直于截面 (2)球心到截面的距离d，球的半径R，截面圆的半径r满足(1)过球心的截面叫球的大圆，不过球心的截面叫球的小圆 (2)在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度(两点的球面距离) 3．简单几何体的三视图 ①正投影：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，这样的平行投影叫做正投影． ②三视图：选取三个两两垂直的平面作为投射面．若投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，投射到这个平面内的图形叫做左视图． 将空间图形向这三个平面做正投影，然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面内，这样构成的图形叫空间图形的三视图． ③画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”． 二、点、直线、平面之间的关系 立体几何网络图： 1、线线平行的判断： （1）、平行于同一直线的两直线平行。 （3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （12）、垂直于同一平面的两直线平行。 2、线线垂直的判断： （7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。 （10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 3、线面平行的判断： （2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （5）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 判定定理： 性质定理： ★判断或证明线面平行的方法 ⑴ 利用定义(反证法)：∩ α =，则∥α (用于判断)； ⑵ 利用判定定理：线线平行线面平行 (用于证明)； ⑶ 利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明)； ⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。 2 线面斜交和线面角：∩ α = A 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°] 图2-3 线面角 注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°； 当直线垂直于平面时，θ=90° 4、线面垂直的判断： ⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 ⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 ⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 判定定理： ⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于