和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆.doc

?? ?? 与多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆。 　　特殊地，与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。 　　三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。 　　其中，三角形内切圆有一定的特性。 　　在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。 　　对于一般的三角形，内切圆半径公式如下： 　　r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p] 　　在直角三角形的内切圆中，有这样两个简便公式：1、两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径。2、两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径。 　　1、r=(a+b-c)/2（注：s是Rt△的面积，a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边） 　　2、r=ab/ (a+b+c) 　　扇形内切圆 　　与扇形⌒AOB的圆弧⌒AB及两条半径OA,OB都相切的圆叫扇形的内切圆 . 　　内切圆圆心O′在扇形的圆心角AOB的角平分线上, 　　OO′=R-r(R是扇形半径,r是内切圆半径) 　　过O′作O′A⊥OA,垂足A,直角三角形OAO′中 　　∠O′OA=30°,O′A=r,OO′=R-r, 　　∴r=(R-r)*sin30°,r=1/2(R-r),R=3r 　　内切圆面积=πr^2, 　　扇形面积是原来圆面积的60/360=1/6 　　∴扇形面积=πR^2/6=π(3r)^2/6=3πr^2/2 　　∴形的内切圆面积与扇形面积的比为πr^2:(3πr^2/2)=2:3 　　直角三角形的内切圆的半径＝二分之一×（直角边＋另一直角边－斜边） 　　内切圆的半径为r=2S÷C，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长。 内切圆等于外切圆的2分之1与多边形各角都相交的圆叫做多边形的外接圆。 三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。 三角形的外接圆圆心是三边的垂直平分线的交点。 三角形外接圆圆心叫外心有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心） 　　圆心到三角形各个顶点的线段相等 　　过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心 　　在三角形中，三角形的外心不一定在三角形内部，可能在三角形外部（如钝角三角形 　　），也可能在三角形上（如直角三角形） 　　过不在同一直线上的三点可作一个圆（且只有一个圆） 编辑本段作图方法 　　即做三角形三条边的垂直平分线(两条也可，两线相交确定一点） 　　以线段为例，可以看作是三角形一边。分别以两个端点为圆心适当长度（相等）为半径做圆（只画出与线段相交的弧即可），再分别以两交点为圆心，等长为半径（保证两圆相交）做圆，过最后的两个圆的两个交点做直线，这条直线垂直且平分这条线段即线段的垂直平分线。 　　例题分析 　　例1 如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值． ?? ?? 分析 由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角． 　　解 ∵ PC⊥平面ABC 　　∴ 平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA－C的平面角． 　　设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是 　　∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴ ∠PAC＝45°∴ 在Rt△DEA 　　评注 本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解． 　　例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离．(图1－126) 　　分析 设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ． ?? ?? 同理，有PB⊥a， 　　∵ PA∩PB=P， 　　∴ a⊥面PAQB于Q 　　又 AQ、BQ 　　平面PAQB 　　∴ AQ⊥a，BQ⊥a． 　　∴ ∠AQB是二面角M－a－N的平面角． 　　∴ ∠AQB＝60° 　　连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有 　　∠PAQ＝∠PBQ=90° 　　∴ P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R 　　在△PAB中，∵ PA=1，PB=2，∠BPA＝180°-60°=120°，由余弦定理得 　　AB2＝1＋4-2×1×2cos120°＝