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路径与连通 定义 1) 起点与终点重合的通路称为闭通路. 2) 起点与终点重合的的路径称为圈，长 为k的圈称为k阶圈，记为Ck. 3) 若在图G中存在(u,v)路径，则称顶点u和v在图G 中连通. 4) 若在图G中顶点u和v是连通的，则顶点u和v之 之间的距离d(u,v)是指图G中最短(u,v)路径的长；若 没有路径连接u和v，则定义为无穷大. 5) 图G中任意两点皆连通的图称为连通图． 一个时间安排问题 学校要为一年级的研究生开设六门基础数学课：数理统计(S)，数值分析(N)，图论(G)，矩阵论(M)，随机过程(R)和数理方程(P)。按培养计划，注册的学生必须选修其中的一门以上，你作为教务管理人员，要设法安排一个课表，使每个学生所选的课程，在时间上不会发生冲突。 一个时间安排问题 S N G R P M S N G R P M ? 用尽可能少的时段数安排这6门课的时间表，使没有同学发生冲突。 一个时间安排问题 返 回 1 2 2 2 3 3 人狼羊菜渡河问题 摆渡人Ferryman 狼Wolf 羊Sheep 菜Vegatable 南岸状态：C44+ C43 + C42 + C41 + C40 =24=16种，其中WS,SV,WSV，从而FV,FW,F为不允许状态 10种允许状态： FWSV FWS FWCV FSV FS O V S W WV FWSV FWS FWV FSV FS O V S W WV 1.渡河方案对应于图中从顶点“FWSV”到顶点“O”的链路？ 2.寻求图中从顶点“FWSV”到顶点“O”的最短路径，这样的路径有几条？求出最优的渡河方案。 人狼羊菜渡河问题 FWSV FWS FWV FSV FS O V S W WV ? FWSV FWS FWV FSV FS O V G W WV FWSV FWS FWV FSV FS O V S W WV 人狼羊菜渡河问题 返 回 图的矩阵表示方法 可达性矩阵 关联矩阵 边矩阵 邻接顺序表 返 回 邻接矩阵 v1 v2 v5 v6 v7 v4 v3 a b j k c g h i d f e 邻接矩阵 ? 无向图的邻接矩阵：A=(aij)n?n，其中 无向图的邻接矩阵有何特点？由邻接矩阵是否能作出原图？ ? 邻接矩阵 返 回 邻接矩阵 ? 对有向图 ,其邻接矩阵 ,其中： 邻接矩阵 ? 对于n=2,3,4,…来说，考察邻接矩阵A的幂An. 邻接矩阵A中的第i行、第j列的元素为1,说明图中存在一条边(ui, uj),即存在一条从顶点ui到uj长度为1的路径。 矩阵A2中的第i行、第j列的元素aij(2)为 aij(2)等于从顶点ui到uj长度为2的不同路径的数目。 定理 设G=(V,E)是一简单有向图，且A是G的邻接矩阵，对于m=1,2,3,…来说，矩阵Am中(i,j)元素的值，等于从顶点ui到uj长度为m的路径数目。 邻接矩阵 其中： ? 对有向赋权图 , 其邻接矩阵 , 对于无向赋权图的邻接矩阵可类似定义. 可达性矩阵 ? 给定一个简单有向图G=(V,E), 由G的邻接矩阵能够直接确定,G中是否存在一条从顶点vi到顶点vj的边。 ? 构造矩阵Bn=A+A2+…+An, 其中的(i,j)元素值，表明了从顶点vi到顶点vj长度小于或等于n的路径数目。如果(i,j)元素非零，则从vi到vj是可达的。 ? 给定一个简单有向图G=(V,E), n=|V|,定义路径矩阵p=(pij)n?n, 使其元素为 关联矩阵 v1 v2 v5 v6 v7 v4 v3 a b j k c g h i d f e ? 无向图的关联矩阵：M=(mij)n?m, 其中 无向图的关联矩阵有哪些特征？由关联矩阵能否作出原图？ 关联矩阵 返 回 ? 边矩阵 v1 v2 v5 v6 v7 v4 v3 a b j k c g h i d f e 返 回 无向或有向加权图 定义一个m列的矩阵第1、2行分别存放边的起点和 终点， 如为加权图, 只需增加一行数来表示各条边上的权. 问题的提出 2007CUMCM B题 乘公交，看奥运 给定若干条公交线路，以及在每条公交线路中任意相邻的两站之间所花费的时间。 并且给定乘客在任意站点换乘的耗时 要求给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法，求出最佳的公交线路. 模型的假设 对”最优”的理解有三个具有代表性的指标： 时间最短 花费最少 最方便（换乘次数最少） 不同的人群对最优