函数与极限知识总结.ppt

第一章 函数与极限 知识总结 定义 极限性质 连续函数性质 求极限 一. 定义 无穷小: 二. 极限性质 唯一性 局部有界性 局部保号性 局部保序性 四则运算法则 左右极限性质 海涅定理：判断极限不存在的方法 三. 连续函数性质 四、 求极限 例. 求 例. 求 11. 利用等价无穷小代换 例. 当 * 自变量的趋近方式: 函数值趋近于: A 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 则 定理. 在自变量的同一变化过程中, 无穷大: 左连续 右连续 在点 连续的等价形式 2. 连续性的讨论: 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 在点 间断的类型 注： （1）可能的间断点： 初等函数无定义的点；分段函数的分段点 （2）若函数由极限形式给出，则应先求出函数 的显表达式，然后再讨论函数间断点等问题 4. 闭区间上的连续函数的性质 最大最小值定理; 有界性; 零值点定理; 介值定理。 注： 根的存在性（零值点定理） 根的唯一性（单调性） 时多项式函数的极限 时有理分式函数的极限 = 时有理分式函数的极限 时含无理式函数的0/0型的极限 ： 方法：将分子分母有理化 例. 解: 这是两无穷大量之差的问题. 即“ ???” 型. 对无理函数, 可考虑有理化. 5. 要利用一些已知极限的结果 6. 利用有界量与无穷小量的乘积的极限为零 7. 分段函数在分段点处的极限 解: 原式 = 1 (2000考研) 8. 极限存在准则：迫敛准则和单调有界原理 例. 求 解: 令 则 利用夹逼准则可知 9. 利用极限四则运算法则和初等函数的连续性 注：根据四则运算法则的性质可先求出部分易求的极限，即 10. 利用两个重要极限 注： 型的极限都可用第二个重要极限； (2). 方法：只需要把底数变成 再在指数位置拼凑成标准形式。 解: 原式 = 法二：原式 = (1). 无穷小的比较 ? 是 ? 的 k 阶无穷小 ? 是 ? 的高阶无穷小,记?=o(?) ? 是 ? 的同阶无穷小 ? 是 ? 的等价无穷小 时, 是 的几阶无穷小? 解: 设其为 的 阶无穷小, 则 因 故 *