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EMBS 2013 CT锥形束FDK重建算法 课程主要内容 平行束重建 扇形束重建 锥形束重建 二维 三维 二维中心切片定理 平行束FBP重建 扇形束FBP重建 三维中心切片定理 锥形束FDK算法 * 锥形束FDK衍生算法 锥形束FDK算法CUDA加速 二维图像重建 二维线积分投影成像的中心切片定理 二维函数投影的一维傅里叶变换等于函数的二维傅里叶变换沿与探测器平行的方向过原点的片段 探测器在每个探测方向上向傅里叶空间添入一条线。当这些线覆盖了整个傅里叶空间后，原本图像可由二维傅里叶反变换获得重建。 二维线积分投影成像的中心切片定理 二维平行束FBP算法步骤 二维平行束FBP算法 从平行光束图像重建算法到扇形束图像重建算法的推导过程 二维扇形束重建算法 二维扇形束图像FBP重建算法步骤 (1) 对投影数据做加权预处理，即乘以一个余弦函数； (2) 对预处理过的数据逐行地做一维的斜坡滤波； (3) 把滤波后的数据做锥形束的加权反投影。反投影中的权函数取决于重建点到焦点的距离。 1 2 3 扇形束的投影数据 射线入射角的余弦函数 一维斜坡滤波器的卷积核 权函数 三维图像重建 相对于传统二维CT，三维锥束CT具有空间分辨率高、数据采集时间短、射线利用率高等优势。目前应用最广泛的三维锥束CT图像重建算法是FDK算法。 三维线积分投影成像的中心切片定理 三维函数投影的二维傅里叶变换等于函数的三维傅里叶变换沿与探测器平行的方向过原点的片段 一个测量方向确定傅里叶空间中的一个测量平面。测量方向的轨迹是个大圆就意味着可以测量到整个傅里叶空间的数据 三维线积分投影成像的中心切片定理 三维锥形束精确重建条件 Tuy 条件：每一个与物体相交的平面都必须包含至少一个锥形束的焦点位置。 锥形束的焦点轨迹是一个圆圈，这个轨迹不满足 Tuy 条件。螺旋轨道和圆圈加直线轨道就满足 Tuy 条件，并可以用于采集锥形束投影数据来精确地重建图像。 螺旋轨道 圆圈加直线轨道 三维锥形束FDK（ Feldkamp-Davis-Kress ）算法 算法由来： FDK锥形束图像重建算法是专门为锥形束的圆形焦点轨道而设计，由 Feldkamp，Davis和 Kress 三人共同发表的。 算法思路：把锥形束图像重建的问题转变为扇形束图像重建的问题。 算法适用范围： (1)被重建物体必须包含在一个球形区域内; (2)X射线源的扫描轨迹为圆形。 FDK算法步骤 (1) 对投影数据做加权预处理，即乘以一个余弦函数cos α； (2) 对预处理过的数据逐行地做一维的斜坡滤波； (3) 把滤波后的数据做锥 形束的加权反投影。反投 影中的权函数取决于重建 点到焦点的距离。 锥形束的投影数据 锥形束射线入射角的余弦函数 一维斜坡滤波器的卷积核 权函数 FDK算法公式 三维的FBP算法 1 2 3 FDK算法是一种近似的算法，无论测量时的分辨率如何，重建结果和真实物体都会有或多或少的偏离。 但是，对于适度的锥角来说，这种偏离非常小。 优点：简单易实现； 缺点：锥形束的锥形张角比较大时，重建物体形状会扭曲，会产生伪影。 FDK算法特点 边缘层存在伪影 中间层精确重建 FDK衍生算法 算法思路：把锥形束图像重建的问题转变为三维拉东变换的问题。 算法步骤： （1）在每个探测器平面上，算出所有可能的线积分。 （2）对第(1)步的结果以角度为变量求导数。 （3）把第(2)步的结果嵌入拉东空间。 （4）对第(3)步的结果沿平面的法线方向求一阶导数。 （5）做三维拉东反投影 算法特点：要把锥形束数据重新排列成拉东数据，数据的重新排列会引进比较大的误差。如果所用的轨道满足 Tuy 条件的话，Grangeat 算法可以给出精确的重建图像。 Grangeat 算法 可应用到任何一个轨道上去 FDK衍生算法 Katsevich 算法 名副其实的 FBP 算法 数据重排 算法步骤： （1）对锥形束数据沿着轨道以轨道参量为变量求导。 （2）对数据进行重排，重排后的数据进行希尔伯特变换。 （3）进行锥形束的加权反投影（同FDK算法）。 算法特点：针对螺旋轨道有很好的效果，它的滤波是移动不变的，它的反投影是锥形束的反投影。缺点是由于该算法限制条件，没有充分利用所测到的投影数据且选择滤波方向需要技巧。 FDK算法的CUDA加速 重建过程：经过3个步骤的3个Kernel函数，重建出物体，重建物体数据最后传回内存或直接显示。 (1)加权阶段，对投影数据进行逐点加权。 (2)游波阶段，通过对投影数据进行补零操作，采用 CUDA提供的cuFFT库，逐行执行傅氏变换，然后投影数据的每一行与傅氏变换后的滤波函数进行逐点相乘，最后对投影数据运行执行傅氏逆变换。